Question

如圖所示，AB為⊙O的直徑，P為AB延長線上一點，PD切⊙O于C，BC和AD的延長線相交于點E，且AB=AE．
（1）求證：AD⊥PD；
（2）若圓的半徑為

 

，BP=1．求證：△ABE是等邊三角形．（題中橫線上的數字被墨跡污染了，請你填上半徑的值，并證明這個題目）

Answer 1

分析：（1）連接OC，因為PD切⊙O于C，所以得到∠OCP=90°若要證明AD⊥PD，可轉化為證明∠ADC=90°，即證明OC∥AE問題可得證．
（2）若：△ABE是等邊三角形，則∠OBC=60°，所以△COB是等邊三角形，∠P=30°，所以∠BCP=30°，即BC=OC=BP=1．

解答：（1）證明：連接OC，
∵0C=OB，
∴∠OCB=∠OBC．
∵AB=AE，
∴∠E=∠OBC，
∴∠E=∠OCB，
∴OC∥AE．
∴∠ADC=∠OCP．
∵PD切⊙O于C，
∴∠OCP=90°．
∴∠ADC=90°．
∴AD⊥PD．

（2）若圓的半徑為1時，△ABE是等邊三角形．
證明：∵OB=OC=1 BP=1，
∴0C=

1

2

OP．
∴∠OPC=30°，
∴∠COB=60°，
又∵OC=OB，
∴∠OBC=60°．
∵AB=AE，
∴△ABE是等邊三角形．

點評：本題考查了圓的切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑；平行的性質；等邊三角形的判斷方法，有一定的綜合性．