Question

【題目】如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，得到下面四個結論：①OA=OD；②AD⊥EF；③當∠BAC=90°時，四邊形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正確的是（　　）

A. ②③ B. ②④ C. ②③④ D. ①③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

OA不一定等于OD；由AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，根據角平分線的性質，可得DE=DF，繼而證得AE=AF，則可得AD是EF的垂直平分線；判定AD⊥EF；又由當∠BAC=90°時，可得四邊形AEDF矩形，繼而證得四邊形AEDF是正方形；由AE=AF，DE=DF，即可判定AE2+DF2=AF2+DE2．

∵AD是EF的垂直平分線，

∴OE=OF，OA不一定等于OD，故①錯誤；

∵AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，

∴DE=DF，

∵∠ADE=90°-∠DAE，∠ADF=90°-∠DAF，

∴∠ADE=∠ADF，

∴AE=AF，

∴點A在EF的垂直平分線上，點D在EF的垂直平分線上，

∴AD是EF的垂直平分線，

即AD⊥EF，故②正確；

∵∠AED=∠EFD=90°，

∴當∠A=90°時，四邊形AEDF是矩形，

∵DE=DF，

∴四邊形AEDF是正方形，故③正確；

∵AE=AF，DE=DF，

∴AE2+DF2=AF2+DE2，∴④正確，

所以正確的是：②③④，

故選C.