Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BE與∠ACB外角的平分線CE交于點E．

（1）如圖1，若∠BAC＝40°，則∠BEC＝　 　°

（2）如圖2，將∠BAC變為60°，則∠BEC＝　 　°，寫出∠BAC與∠BEC的關系；并說明你的理由

（3）在圖1的基礎上過點E分別作EN⊥BA于N，EQ⊥AC于Q，EM⊥BD于M，如圖3，

求證：△ANE≌AQE，并求出∠NAE的度數．

Answer 1

【答案】（1）20°；（2）30°， ∠E＝∠A，理由見解析；（3）見解析，∠NAE＝70°.

【解析】

（1）證明∠E＝∠A，即可解決問題；

（2）利用（1）中結論解決問題即可；

（3）連接AE．證明Rt△ANE≌Rt△AQE（HL）即可解決問題；

（1）依據三角形外角性質∠A＝∠ACD∠ABC，∠E＝∠ECD∠EBD

∵∠ABC的平分線與∠ACB外角的平分線交于點E，

∴∠EBD＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD

∴∠E＝∠ECD∠EBD＝∠ACD∠ABC＝∠A＝20°．

（2）30°,∠E＝∠A

理由：∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠ECD﹣∠EBD

∵∠ABC的平分線與∠ACB外角的平分線交于點E，

∴∠EBD＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD

∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝∠ACD﹣∠ABC＝∠A

（3）連接AE．

∵CE平分∠ACD，EQ⊥AC，EM⊥BD，

∴EQ＝EM，

同理EN＝EM

∴EN＝EQ，

在Rt△ANE和Rt△AQE中，

，

∴Rt△ANE≌Rt△AQE（HL），

∴∠EAQ＝∠EAN，

∵∠BAC＝40°，

∴∠NAQ＝140°，

∴∠NAE＝×140°＝70°