Question

【題目】 如圖1：已知直線與軸，軸分別交于，兩點，以為直角頂點在第一象限內做等腰Rt△．

（1）求，兩點的坐標；

（2）求所在直線的函數關系式；

（3）如圖2，直線交軸于點，在直線上取一點，使，與軸相交于點.

①求證：；

②在軸上是否存在一點，使△的面積等于△的面積？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（0，2），B（1，0）；（2）直線BC所在直線解析式為y=x-．（3）①證明見解析；②點P的坐標為（，0）或（-，0）．

【解析】

（1）y=-2x+2中求出x=0時y的值和y=0時x的值即可得；

（2）作CD⊥x軸，證△ABO≌△BCD得BD=OA=2，CD=OB=1，據此可得C（3，1），再根據待定系數法求解可得；

（3）①作CG⊥x軸，EM⊥x軸，EN⊥y軸，先證△BCG≌△BEM得BM=BG=2，EM=CG=1，進一步求得OM=EN=OB=1，再證△BDO≌△EDN得BD=ED；

②作EH⊥x軸，先求出S△ABD=ADOB=，再求出直線AE解析式為y=3x+2，得到F（-，0），設P（a，0），知PF=|--a|，依據S△APE=S△APF+S△EPF=PF（EH+AO）=|+a|，根據S△ABD=S△APE得出關于a的方程，解之可得答案．

（1）y=-2x+2中，當x=0時y=2，

則A（0，2），

當y=0時，-2x+2=0，解得x=1，

則B（1，0）；

（2）如圖①，過點C作CD⊥x軸于點D，

則∠AOB=∠BDC=90°，

∴∠OAB+∠ABO=90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠CBD=90°，

∴∠OAB=∠DBC，

∴△ABO≌△BCD（AAS），

∴BD=OA=2，CD=OB=1，

則點C（3，1），

設直線BC所在直線解析式為y=kx+b，

將點B（1，0）、C（3，1）代入，得：，

解得，

∴直線BC所在直線解析式為y=x-．

（3）①過點C作CG⊥x軸于點G，作EM⊥x軸于點M，EN⊥y軸于點N，

則∠BGC=∠BME=∠END=∠BOD=90°，

∵∠ABC=90°，且AE=AC，

∴AB是CE的中垂線，

∴BC=BE，

∵∠CBG=∠EBM，

∴△BCG≌△BEM（AAS），

∴BM=BG=2，EM=CG=1，

∵BO=1，

∴OM=EN=OB=1，

∵∠BDO=∠EDN，

∴△BDO≌△EDN（AAS），

∴BD=ED；

②如圖③，作EH⊥x軸于點H，

由y=x-知D（0，-），即OD=，

則AD=OA+OD=，

∴S△ABD=ADOB=××1=，

由①知E（-1，-1），

根據A（0，2）、E（-1，-1）得直線AE解析式為y=3x+2，

當y=0時，3x+2=0，解得x=-，

∴F（-，0），

設P（a，0），

∴PF=|--a|，

則S△APE=S△APF+S△EPF

=PF（EH+AO）

=|--a|×3

=|+a|，

∵S△ABD=S△APE，

∴|+a|=，

解得a=或a=-，

∴點P的坐標為（，0）或（-，0）．