Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，2）、B（2，1）和C（-2，-1）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象的一個分支經(jīng)過點(diǎn)C，并且另個分支與拋物線在第一象限相交．
①求出k的值；
②反比函數(shù)y=

k

x

的圖象是否經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B，試說明理由；
③若點(diǎn)P（a，b）是反比例函數(shù)y=

k

x

在第三象限的圖象上的一個動點(diǎn)，連接AB、PA、PB，請問是否存在這樣的一點(diǎn)P使△PAB的面積為3？如果存在，試求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法將A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=ax²+bx+c中，即可求得拋物線的解析式；
（2）①根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=

2

x

；②由k的值等于2，若A，B兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相乘等于2，則反比例函數(shù)就經(jīng)過該點(diǎn)．③直接求△PAB的面積不容易，可以過P作PE∥x軸，作AD⊥PE于D，BE⊥PE于E，先求出四邊形ABEP的面積，再減去△BPE的面積，即得△PAB的面積，令其等于3，即可求得滿足條件的點(diǎn)P．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，2）、B（2，1）和
C（-2，-1）三點(diǎn)
∴

a+b+c=2 4a+2b+c=1 4a-2b+c=-1

解得：

a=- 1 2 b= 1 2 c=2

（2分）
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

1

2

+2（3分）

（2）①反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象的一個分支經(jīng)過點(diǎn)C（-2，-1）
∴k=（-2）×（-1）=2（5分）
②由①知k的值為2，所以反比例函數(shù)的解析式為y=

2

x

，
∵1×2=2=k，
∴點(diǎn)A（1，2）在反比例函數(shù)y=

2

x

的圖象上，
同理點(diǎn)B（2，1）也在反比例函數(shù)y=

2

x

的圖象上，
即反比函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B，（8分）
③存在（9分）
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b）
因?yàn)辄c(diǎn)P（a，b）在y=

2

x

上，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，

2

a

）
作PE∥x軸，作AD⊥PE，BE⊥PE，垂足分別為D、E．
則PD=-a+1，PE=-a+2，AD=-

2

a

+2，BE=-

2

a

+1（10分）
∴S_△ADP=

1

2

AD•PD=

1

2

（-

2

a

+2）（-a+1）=-a-

1

a

+2
∴S梯_形ABED=

1

2

（AD+BE）•DE=

3

2

-

2

a

∴S_△BPE=

1

2

PE•BE=-

1

2

a-

2

a

+2
∴S_△PAB=S_△ADP+S_梯形ABED-S_△BPE=-

1

2

a-

1

a

+

3

2

（12分）
若△PAB的面積為3則-

1

2

a-

1

a

+

3

2

=3
∴a²+3a+2=0
∴a₁=-1，a₂=-2
經(jīng)檢驗(yàn)a₁=-1，a₂=-2都是方程-

1

2

a-

1

a

+

3

2

=3的解
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-2）或（-2，-1）（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，同時在求解三角形的面積時，要靈活的運(yùn)用割補(bǔ)法進(jìn)行求解．