Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=﹣x2+bx+c交y軸于點A（0，4），交x軸于點B（4，0），點P是拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線PQ，過點A作AQ⊥PQ于點Q，連接AP．

（1）填空：拋物線的解析式為　 　，點C的坐標　 　；

（2）點P在拋物線上運動，若△AQP∽△AOC，求點P的坐標；

（3）如圖2，當點P位于拋物線的對稱軸的右側，若將△APQ沿AP對折，點Q的對應點為點Q'，請直接寫出當點Q'落在坐標軸上時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x+4；（﹣1，0）；（2）點P的坐標為（，）或（，）；（3）點P的坐標為（4，0）或（5，﹣6）或（2，6）

【解析】分析：（1）利用待定系數法求拋物線解析式，然后利用拋物線解析式得到一元二次方程，通過解一元二次方程得到C點坐標；

（2）利用△AQP∽△AOC得到AQ=4PQ，設P（m，﹣m2+3m+4），所以m=4|4﹣（﹣m2+3m+4|，然后解方程4（m2﹣3m）=m和方程4（m2﹣3m）=﹣m得P點坐標；

（3）設P（m，﹣m2+3m+4）（m＞），當點Q′落在x軸上，延長QP交x軸于H，如圖2，則PQ=m2﹣3m，證明Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP，利用相似比得到Q′B=4m﹣12，則OQ′=12﹣3m．在Rt△AOQ′中，利用勾股定理得到方程42+（12﹣3m）2=m2，然后解方程求出m得到此時P點坐標；當點Q′落在y軸上，易得點A、Q′、P、Q所組成的四邊形為正方形，利用PQ=PQ′得到|m2﹣3m|=m，然后解方程m2﹣3m=m和方程m2﹣3m=﹣m得此時P點坐標．

詳解：（1）把A（0，4），B（4，0）分別代入y=﹣x2+bx+c得：

，

解得：，∴拋物線解析式為y=﹣x2+3x+4，

當y=0時，﹣x2+3x+4=0，解得：x1=﹣1，x2=4，∴C（﹣1，0）；

故答案為：y=﹣x2+3x+4；（﹣1，0）；

（2）∵△AQP∽△AOC，∴====4，即AQ=4PQ．

設P（m，﹣m2+3m+4），∴m=4|4﹣（﹣m2+3m+4|，

即4|m2﹣3m|=m，解方程4（m2﹣3m）=m得：m1=0（舍去），m2=，

此時P點坐標為（）；

解方程4（m2﹣3m）=﹣m得：m1=0（舍去），m2=，

此時P點坐標為（）；

綜上所述：點P的坐標為（）或（）；

（3）設P（m，﹣m2+3m+4）（m＞），

當點Q′落在x軸上，延長QP交x軸于H，如圖2，

則PQ=4﹣（﹣m2+3m+4）=m2﹣3m．

∵△APQ沿AP對折，點Q的對應點為點Q'，

∴∠AQ′P=∠AQP=90°，AQ′=AQ=m，PQ′=PQ=m2﹣3m．

∵∠AQ′O=∠Q′PH，∴Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP，

∴=，即=，解得：Q′B=4m﹣12，

∴OQ′=m﹣（4m﹣12）=12﹣3m．

在Rt△AOQ′中，42+（12﹣3m）2=m2，

整理得：m2﹣9m+20=0，解得：m1=4，m2=5，

此時P點坐標為（4，0）或（5，﹣6）；

當點Q′落在y軸上，則點A、Q′、P、Q所組成的四邊形為正方形，

∴PQ=PQ′，即|m2﹣3m|=m，解方程m2﹣3m=m得：m1=0（舍去），m2=4，

此時P點坐標為（4，0）；

解方程m2﹣3m=﹣m得：m1=0（舍去），m2=2，此時P點坐標為（2，6）．

綜上所述：點P的坐標為（4，0）或（5，﹣6）或（2，6）