Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中拋物線y=ax2﹣2ax+3（a≠0）的頂點A在第一象限，它的對稱軸與x軸交于點B，△AOB為等腰直角三角形．

（1）寫出拋物線的對稱軸為直線　 　；

（2）求出拋物線的解析式；

（3）垂直于y軸的直線L與該拋物線交于點P（x1，y1），Q（x2，y2）其中x1＜x2，直線L與函數y=（x＞0）的圖象交于點R（x3，y3），若，求x1+x2+x3的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x＝1；（2）拋物線解析式為y＝2x2﹣4x+3；（3）3≤x1+x2+x3＜8．

【解析】

（1）直接根據對稱軸公式x求解可得；

（2）將解析式配方成頂點式得其頂點A坐標（1，3﹣a）及對稱軸與x軸交點B坐標（1，0），由△AOB為等腰直角三角形即OB=AB可得1=3﹣a，求得a=2，據此可得答案；

（3）先根據拋物線對稱性知x1+x2=2且y1=y2＞1，由直線L與雙曲線交于點R知y3＞1，即1，據此得x3＜6；依據知點R一定位于對稱軸x=1上或右側，即x3≥1，從而得出答案．

（1）拋物線的對稱軸為直線x1．

故答案為：x=1；

（2）∵y=ax2﹣2ax+3=a（x﹣1）2+3﹣a，∴頂點A坐標為（1，3﹣a），由題意知B（1，0）．

∵△AOB為等腰直角三角形，∴OB=AB，即1=3﹣a，解得：a=2，∴拋物線解析式為y=2x2﹣4x+3；

（3）∵垂直于y軸的直線L與該拋物線交于點P（x1，y1），Q（x2，y2），∴x1+x2=2，且y1=y2＞1，又直線L與函數y（x＞0）的圖象交于點R（x3，y3），∴y1=y2=y3＞1，即1，∴x3＜6，又，∴點R一定位于對稱軸x=1上或右側，即x3≥1，∴3≤x1+x2+x3＜8．