Question

已知拋物線y₁=x²+4x+1的圖象向上平移m個(gè)單位（m＞0）得到的新拋物線過點(diǎn)（1，8）．
（1）求m的值，并將平移后的拋物線解析式寫成y₂=a（x-h）²+k的形式；
（2）將平移后的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，與平移后的拋物線沒有變化的部分構(gòu)成一個(gè)新的圖象．請(qǐng)寫出這個(gè)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)y的解析式，并在所給的平面直角坐標(biāo)系中直接畫出簡(jiǎn)圖，同時(shí)寫出該函數(shù)在-3＜x≤-

3

2

時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的取值范圍；
（3）設(shè)一次函數(shù)y₃=nx+3（n≠0），問是否存在正整數(shù)n使得（2）中函數(shù)的函數(shù)值y=y₃時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值為-1＜x＜0？若存在，求出n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y₁=x²+4x+1的圖象向上平移m個(gè)單位，可得y₂=x²+4x+1+m，再利用又點(diǎn)（1，8）在圖象上，求出m即可；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式畫出圖象，即可得出函數(shù)大小分界點(diǎn)；
（3）根據(jù)當(dāng)y=y₃且對(duì)應(yīng)的-1＜x＜0時(shí)，x²+4x+3=nx+3，得出n取值范圍即可得出答案．

解答：解：（1）由題意可得y₂=x²+4x+1+m，
又點(diǎn)（1，8）在圖象上，
∴8=1+4×1+1+m，
∴m=2，
∴y₂=（x+2）²-1；

（2）y=

x2+4x+3     (x≤-3或x≥-1)(4分) -x2-4x-3(-3＜x＜-1)(6分)

當(dāng)-3＜x≤-

3

2

時(shí)，0＜y≤1；

（3）不存在，
理由：當(dāng)y=y₃且對(duì)應(yīng)的-1＜x＜0時(shí)，x²+4x+3=nx+3，
∴x₁=0，x₂=n-4，
且-1＜n-4＜0得3＜n＜4，
∴不存在正整數(shù)n滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及圖象交點(diǎn)求法，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型，特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．