Question

（2013•集美區一模）已知拋物線y1=-x2+bx+c（b≠0）與x軸正半軸交于A（c，0），與y軸交于B點，直線AB的解析式為y₂=mx+n．
（1）求m-n+b的值；
（2）若拋物線頂點P關于y軸的對稱點恰好在直線AB上，M是線段BA上的點，過點M作MN∥y軸交拋物線于點N．試問：當點M從點B運動到點A時，線段MN的長度如何變化？

Answer 1

分析：（1）把點A的坐標代入拋物線解析式得到b=c-1；把點A、B的坐標分別代入直線AB的解析式求得m=-1，n=c，將其代入所求的代數式并求值即可；
（2）由（1）中的拋物線解析式可以求得頂點P（

c-1

2

，

c2+2c+1

4

），則易求頂點P關于y軸對稱的點P′（

1-c

2

，

c2+2c+1

4

）．由一次函數y₂=-x+c圖象上點的坐標特征可以
求得c=3．易求得y1=-x2+2x+3，y₂=-x+3．則MN=-(x，所以由二次函數圖象的性質進行解答即可．

解答：解：（1）把A（c，0）代入拋物線得：-c²+bc+c=0，
如圖，∵A（c，0）在x軸正半軸，
∴c＞0，
∴b=c-1，
∵拋物線與y軸交于B點．
∴B（0，c）
把A（c，0）、B（0，c）分別代入y₂=mx+n得：

mc+n=0 n=c

，
解得：

m=-1 n=c

∴m-n+b=-1-c+c-1=-2；

（2）∴y1=-x2+(c-1)x+c，y₂=-x+c
∴頂點P（

c-1

2

，

c2+2c+1

4

）                 
∴頂點P關于y軸對稱的點P′（

1-c

2

，

c2+2c+1

4

）
把P′代入y₂=-x+c得：

c-1

2

+c=

c2+2c+1

4

解得：c₁=3，c₂=1（舍去）
∴當c=3時，b=c-1=2；
當c=1時，b=0；
∵b≠0
∴c=3，b=2，
∴y1=-x2+2x+3，y₂=-x+3
∵M是線段AB上的點，
∴y₂≤y₁，0≤x≤3．
∵MN∥y軸
∴MN=y1-y2=-x2+3x
∴MN=-(x
∵a=-1＜0，開口向下，對稱軸為x=

3

2

∴當0≤x≤

3

2

時，MN長度隨著x增大而增大；
當

3

2

≤x≤3時，MN長度隨著x增大而減小．

點評：本題綜合考查了一次函數、二次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求一次函數、二次函數的解析式以及二次函數圖象的性質．綜合性強，要求學生掌握數形結合的數學思想方法．（2）中弄清線段MN長度的函數意義是解題的關鍵．