Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AE平分∠BAD，分別交BC，BD于點E，P，連接OE，∠ADC＝60°，AB＝BC＝2，下列結論：①∠CAD＝30°；②BD＝2；③S四邊形ABCD＝ABAC；④OE＝AD；⑤S△BOE＝．其中正確的個數有（ ）個

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】D

【解析】

①先根據角平分線和平行線的性質得：∠BAE＝∠BEA，則AB＝BE＝2，由有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形得：△ABE是等邊三角形，由外角的性質和等腰三角形的性質得：∠ACE＝30°，最后由平行線的性質可作判斷；

②先根據三角形中位線定理得：OE＝AB＝1，OE∥AB，根據勾股定理計算OC，OD的長，即可求BD的長；

③因為∠BAC＝90°，根據平行四邊形的面積公式可作判斷；

④根據三角形中位線定理可作判斷；

⑤由三角形中線的性質可得：S△BOE＝S△EOC＝OEOC＝．

解：①∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠DAE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，

∴∠DAE＝∠BEA，

∴∠BAE＝∠BEA，

∴AB＝BE＝2，

∴△ABE是等邊三角形，

∴AE＝BE＝2，

∵BC＝4，

∴EC＝2，

∴AE＝EC，

∴∠EAC＝∠ACE，

∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，

∴∠ACE＝30°，

∵AD∥BC，

∴∠CAD＝∠ACE＝30°，

故①正確；

②∵BE＝EC，OA＝OC，

∴OE＝AB＝1，OE∥AB，

∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°，

Rt△EOC中，OC＝，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BCD＝∠BAD＝120°，

∴∠ACB＝30°，

∴∠ACD＝90°，

Rt△OCD中，OD＝

BD＝2OD＝2

故②正確

③由②知：∠BAC＝90°，

∴SABCD＝ABAC，

故③正確；

④由②知：OE是△ABC的中位線，

∴OE＝AB，

∵AB＝BC，

∴OE＝BC＝AD，

故④正確；

⑤∵BE＝EC＝2

∴S△BOE＝S△EOC＝OEOC＝

故⑤正確

故選：D．