Question

【題目】如圖所示，AB是⊙O的直徑，點C是弧AB的中點，點D是弧BC的中點，連接AC，BC，AD，BD，且AD與BC相交于點F，延長AC至E，使AC＝EC，連接EB交AD的延長線于點G．

（1）求證：EB是⊙O的切線；

（2）求證；AF＝2BD；

（3）求證：線段BG是線段CF和線段EG的比例中項．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析

【解析】

（1）由“SAS”可證△ABC≌△EBC，可得∠ABC=∠EBC=45°，可得∠EBA=90°，即可得結論；

（2）延長BD交AE于點M，由“ASA”可證△ADB≌△ADM和△ACF≌△BCM，可得BD=DM，AF=BM=2BD；

（3）過點F作FN⊥AB，過點G作GK⊥AE，由等腰三角形的性質和直角三角形的性質可得BF＝CF，EG＝KG＝BG＝BF，即可得結論．

證明：（1）∵AB是⊙O 的直徑，

∴∠ACB＝90°

又∵點C是弧AB的中點，

∴∠ABC＝45°

又∵AC＝EC，∠ACB＝∠ECB＝90°，BC＝BC

∴△ABC≌△EBC（SAS）

∴∠ABC＝∠EBC＝45°

∴∠EBA＝90°，且AB是⊙O 的直徑

∴EB是⊙O的切線．

（2）如圖，延長BD交AE于點M

∵AB是⊙O 的直徑

∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°

∵點D是弧BC的中點

∴∠MAD＝∠BAD＝∠BAC＝22.5°，且∠ADB＝∠ADM＝90°，AD＝AD

∴△ADB≌△ADM（ASA）

∴BD＝DM

∴BM＝2BD

∵點C是弧AB的中點

∴AC＝BC，∠ACF＝∠BCM＝90°，∠CBD＝∠CAD

∴△ACF≌△BCM（AAS）

∴AF＝BM

∴AF＝2BD．

（3）如圖，過點F作FN⊥AB，過點G作GK⊥AE，垂足分別為N，K，

由（2）可知∠CAD＝∠BAD＝22.5°，∠ABC＝∠E＝45°，

∴∠BFD＝∠BAF+∠ABF＝22.5°+45°＝67.5°，∠BGF＝∠CAD+∠E＝22.5°+45°＝67.5°，

∴∠BFD＝∠BGF，

∴BF＝BG，

∵∠CAF＝∠NAF，FC⊥AE，FN⊥AB，

∴NF＝CF，

又∵∠ABC＝45°，∠FNB＝90°，

∴NF＝BN＝CF，

∴ ，

同理，

∴，，

∴，

∴BF是線段CF和線段EG的比例中項．

即線段BG是線段CF和線段EG的比例中項．