Question

【題目】如圖，四邊形OABC為矩形，OA=4，OC=5，正比例函數y=2x的圖像交AB于點D，連接DC，動點Q從D點出發沿DC向終點C運動，動點P從C點出發沿CO向終點O運動．兩點同時出發，速度均為每秒1個單位，設從出發起運動了t s．

（1）求點D的坐標；

（2）若PQ∥OD，求此時t的值？

（3）是否存在時刻某個t，使S△DOP=S△PCQ？若存在，請求出t的值，若不存在，請說明理由；

（4）當t為何值時，△DPQ是以DQ為腰的等腰三角形?

Answer 1

【答案】（1）D（2，4）；（2）；（3）存在，t的值為2 ；（4）當或或時，△DPQ是一個以DQ為腰的等腰三角形

【解析】

（1）由題意得出點D的縱坐標為4，求出y=2x中y=4時x的值即可得；

（2）由PQ∥OD證△CPQ∽△COD，得，即，解之可得；

（3）分別過點Q、D作QE⊥OC，DF⊥OC交OC與點E、F，對于直線y=2x，令y=4求出x的值，確定出D坐標，進而求出BD，BC的長，利用勾股定理求出CD的長，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形CQE與三角形CDF相似，由相似得比例表示出QE，由底PC，高QE表示出三角形PQC面積，再表示出三角形ODP面積，依據S△DOP=S△PCQ列出關于t的方程，解之可得；

（4）由三角形CQE與三角形CDF相似，利用相似得比例表示出CE，PE，進而利用勾股定理表示出PQ2，DP2，以及DQ，分兩種情況考慮：①當DQ=DP；②當DQ=PQ，求出t的值即可．

解：（1）∵OA=4

∴把代入得

∴D（2，4）．

（2）在矩形OABC中，OA=4，OC=5

∴AB=OC=5，BC=OA=4

∴BD=3，DC=5

由題意知：DQ=PC=t

∴OP=CQ=5t

∵PQ∥OD

∴

∴

∴ ．

（3）分別過點Q、D作QE⊥OC， DF⊥OC交OC與點E、F

則DF=OA=4

∴DF∥QE

∴△CQE ∽△CDF

∴

∴

∴

∵ S△DOP=S△PCQ

∴

∴，

當t=5時，點P與點O重合，不構成三角形，應舍去

∴t的值為2．

（4）∵△CQE ∽△CDF

∴

∴

∴

①當時，，

解之得：

②當時，

解之得：

答：當或或時，△DPQ是一個以DQ為腰的等腰三角形．