Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于點E，在BC上截取BF=AE，連接AF交CE于點G，連接DG交AC于點H，過點A作AN⊥BC，垂足為N，AN交CE于點M．則下列結論；
①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC.
其中正確的個數是

A．1         B．2        C．3        D．4

Answer 1

D

解析試題分析：如圖所示，

結論①正確。理由如下：
∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，∴∠6=∠CMN。
又∵∠5=∠CMN，∴∠5=∠6。∴AM=AE=BF．
易知ADCN為正方形，△ABC為等腰直角三角形，
∴AB=AC。
在△ACM與△ABF中，∵AC=AB，∠CAM=∠B=45°,AM=BF,
∴△ACM≌△ABF（SAS）。∴CM=AF。
結論②正確．理由如下：
∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4。
∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°。∴CE⊥AF。
結論③正確。理由如下：
∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四點共圓。∴∠7=∠2。
∵∠2=∠4，∴∠7=∠4。
又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH。
結論④正確．理由如下：
∵A、D、C、G四點共圓，∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°。
∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC。
綜上所述，正確的結論是：①②③④，共4個。故選D。