Question

如圖，△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACE的平分線相交于點D，
（1）若∠ABC=60°，∠ACB=40°，求∠A和∠D度數；
（2）由第（1）小題的計算，發現∠A和∠D有什么關系？它們是不是一定有這種關系？請作出說明．

Answer 1

分析：（1）根據三角形內角和定理，已知∠ABC=60°，∠ACB=40°，易求∠A和∠D度數．
（2）根據三角形內角和定理以及角平分線性質，先求出∠D的等式，再與∠A比較即可解答．

解答：解：（1）在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°，
∵BD為∠ABC，CD為∠ACE的角平分線，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC=

1

2

×60°=30°，
∠ACD=

1

2

（180°-∠ACB）=

1

2

×140°=70°，
∴∠D=180°-∠DBC-∠ACB-∠ACD=180°-30°-40°-70°=40°，
∴∠A=80°，∠D=40°．

（2）通過第（1）的計算，得到∠A=2∠D，理由如下：
∵∠ACE=∠A+∠ABC，
∴∠ACD+∠ECD=∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE=∠D+∠DBC，
又BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABD=∠DBE，∠ACD=∠ECD，
∴∠A=2（∠DCE-∠DBC），∠D=∠DCE-∠DBC，
∴∠A=2∠D．

點評：此類題關鍵是考查三角形內角和定理以及角平分線性質的綜合運用．