Question

已知：△ABD和△CBD關于直線BD對稱（點A的對稱點是點C），點E、F分別是線段BC和線段BD上的點，且點F在線段EC的垂直平分線上，連接AF、AE，AE交BD于點G．
（1）如圖l，求證：∠EAF＝∠ABD；
（2）如圖2，當AB＝AD時，M是線段AG上一點，連接BM、ED、MF，MF的延長線交ED于點N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，請你判斷線段FM和FN之間的數量關系，并證明你的判斷是正確的．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）FM=FN ，證明見解析.

試題分析：（1）連接FE、FC，先證△ABF、△CBF全等，得∠FEC=∠BAF，通過四邊形ABEF與三角形AEF內角和導出.
（2）先由△AFG∽△BFA，推出∠AGF=∠BAF，再得BG=MG，通過△AGF∽△DGA，導出GD=a. FD=a，過點F作FQ∥ED交AE于Q，通過BE∥AD得線段成比例，設EG=2k，BG=MG=3k，GQ=EG=，MQ=3k+=，，從而FM=FN.
（1）如圖，連接FE、FC，
∵點F在線段EC的垂直平分線上，∴FE="FC." ∴∠l=∠2.
∵△ABD和△CBD關于直線BD對稱，∴AB=CB，∠4=∠3， BF=BF.
∴△ABF≌△CBF（SAS）. ∴∠BAF=∠2，FA=FC.
∴FE=FA，∠1=∠BAF. ∴∠5=∠6 .
∵∠l+∠BEF=180⁰，∴∠BAF+∠BEF=180⁰.
∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360⁰，∴∠AFE+∠ABE=180⁰.
又∵∠AFE+∠5+∠6=180⁰，∴∠5+∠6=∠3+∠4.
∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD.

（2）FM=FN ，證明如下：
如圖，由（1）可知∠EAF=∠ABD，
又∵∠AFB=∠GFA，∴△AFG∽△BFA. ∴∠AGF=∠BAF。
又∵∠MBF=∠BAF．∠MBF=∠AGF，∠AGF=∠MBG+∠BMG，∴∠MBG=∠BMG.∴BG=MG.
∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD=∠EAF.
∵∠FGA=∠AGD，∴△AGF∽△DGA. ∴.
∵AF=AD，∴.
設GF="2a" ，AG=3a，則GD=a. ∴FD=a.
∵∠CBD=∠ABD， ∠ABD=∠ADB，∴∠CBD=∠ADB. ∴BE∥AD.
∴. ∴.
設EG=2k，∴BG=MG=3k.
過點F作FQ∥ED交AE于Q，
∴.∴.
∴GQ=EG=，MQ=3k+=. ∴.
∵FQ∥ED，∴. ∴FM=FN.