Question

【題目】綜合與探究：如圖，已知拋物線y=﹣x2+2x+3的圖象與x軸交于點A，B（A在B的右側），與y軸交于點C，對稱軸與拋物線交于點D，與x軸交于點E．

（1）求點A，B，C，D的坐標；
（2）求出△ACD的外心坐標；
（3）將△BCE沿x軸的正方向每秒向右平移1個單位，當點E移動到點A時停止運動，若△BCE與△ADE重合部分的面積為S，運動時間為t（s），請直接寫出S關于t的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當y=0時，﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3

∴點A坐標為（3，0），點B坐標為（﹣1，0），

當x=0時，代入﹣x2+2x+3=0，y=3，

∴C點坐標為（0，3）

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴D點的坐標為（1，4）

（2）

解：過點D作DF⊥y軸，垂足為F，連接AC、CD，如圖1

∵A（3，0），C（0，3），D（1，4）

∴DF=CF=1，OC=AC=3，

∴△DFC，△AOC均為等腰直角三角形；

∴∠DCF=∠ACO=45°，∴∠ACD=90°，△ACD為直角三角形；

∴斜邊AD上中點為△ACD的重心，設點P為AD的中點，

過點P作PG⊥OA，垂足為G，

∵△APG∽△ADE，

∴點G為EA的中點，

∴OG=2，PG=2，

∴點P坐標為（2，2）

（3）

解：如圖2，當0＜t≤1時，EE′=t

設E′C′與DE交于點Q，根據△QEE′～△COB，求得QE=3t，

∴S= QEEE′= ×t×3t= t2；

如圖3，當1＜t≤ 時，設當B′C′與DE交于點H，

根據△B′HE～△BOC，求得EH=3（2﹣t），

∵S=S△C′B′E′﹣S△HB′E，

∴S= ×2×3﹣ ×3（2﹣t）2

即S=﹣ t2+6t﹣3；

如圖4，當 ＜t≤2時，

設直線B′C′與直線DE交點為T，與直線AD的交點為K，直線AD與直線E′C′的交點為L，

∵B′（t﹣1，0），C′（t，3），E′（t+1，0），

∴直線B′C′的解析式為：y=3x+（3﹣3t），

直線E′C′的解析式為：y=﹣3x+（3+3t），

∵直線AD的解析式為y=2x+6，

∵解方程組

解得

∴K（ ， ）

解方程組

解得

∴L（3t﹣3，﹣6t+12），

又∵T（1，6﹣3t），

∴DT=4﹣（6﹣3t）=3t﹣2，AE′=3﹣（t+1）=2﹣t，△DKT以DT為底邊上的高為： ﹣1= ，

S=S△EAD﹣S△DKT﹣S△E′AL=4﹣ （3t﹣2） ﹣ （2﹣t）（﹣6t+12），

即S=﹣ t2+ ﹣ ；

∴當0＜t≤1時，S= t2

當1＜t≤ 時，S=﹣ t2+6t﹣3

當 ＜t≤2時，S=﹣ t2+ ﹣

【解析】（1）利用函數關系式分別讓x=0及y=0可求出點A、B及點C坐標，通過配方法求得點D坐標；（2）作DF⊥y軸，連接DC、AC，利用特殊角證出△ACD為直角三角形，則通過相似三角形對應邊的比可得出外心的坐標；（3）根據運動時間t，分成0＜t≤1、1＜t≤ 、 ＜t≤2三種情況進行討論，利用直線解析式求出交點坐標，從而將面積分別表示出來．