Question

【題目】已知拋物線的表達式是y=ax2+（1﹣a）x+1﹣2a（a為不等于0的常數），上述拋物線無論a為何值始終經過定點A和定點B；A為x軸上的點，B為第一象限內的點．

（1）請寫出A，B兩點的坐標：A（　 　，0）；B（　 　，　 　）；

（2）如圖1，當拋物線與x軸只有一個公共點時，求a的值；

（3）如圖2，當a＜0時，若上述拋物線頂點是D，與x軸的另一交點為點C，且點A，B，C，D中沒有兩個點相互重合．

求：①△ABC能否是直角三角形，為什么？

②若使得△ABD是直角三角形，請你求出a的值．（求出1個a的值即可）

Answer 1

【答案】（1）﹣1，2，3；（2）a=；（3）①a=﹣；②a=﹣1．

【解析】

（1）y=ax2+（1-a）x+1-2a=a（x2-x-2）+x+1，當（x2-x-2）=0時，無論a為何值始終經過定點A和定點B，即可求解；

（2）當拋物線與x軸只有一個公共點時，△=0，即可求解；

（3）①A（-1，0），設C（x，0），AB所在的直線的k1值為1，BC所在的直線的k2值為：=3a，當k1k2=-1即可求解；②設：∠ABD=90°，設：D（m，n），而，韋達定理得：m2=-，則m=-，由y=ax2+（1-a）x+1-2a知，m=，即：-=，即可求解．

解：（1）y=ax2+（1﹣a）x+1﹣2a=a（x2﹣x﹣2）+x+1，

當（x2﹣x﹣2）=0時，無論a為何值始終經過定點A和定點B，

則x=﹣1或2，則A（﹣1，0）、B（2，3）；

故：答案是﹣1，2，3；

（2）當拋物線與x軸只有一個公共點時，△=0，

即：（1﹣a）2﹣2a（1﹣2a）=0，解得：a=；

（3）①A（﹣1，0），設C（x，0），

由韋達定理：﹣1x=，則C（，0），

AB所在的直線的k1值為1，

BC所在的直線的k2值為： =3a，

當k1k2=﹣1時，AB⊥BC，解得：a=﹣；

②設：∠ABD=90°，

則直線BD所在直線方程的k=﹣1，其直線方程為：y=﹣x+5，

將直線BD所在的方程與二次函數聯立得：

ax2+（2﹣a）x﹣（4+2a）=0，

設：D（m，n），而B（2，3）

由韋達定理得：m2=﹣，則m=﹣，

由y=ax2+（1﹣a）x+1﹣2a知，m=，

即：﹣=，

解得：a=﹣1．