Question

（11分）如圖1，已知拋物線經過原點0和x軸上另一個點E,頂點M的坐標是（2，4）; 矩形ABCD的頂點A與點0重合，AD、AB分別在x軸和y軸上，且AD=2 ，AB=3.

（1）求該拋物線所參應的函數表達式；

（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發向B勻速移動，設它們運動的時間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點為N（如圖2）.

①當t=時，判斷點P時否在直線ME上，并說明理由；

 

②設以P、N、C、D為頂點的圖形面積為S，試部S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

解:(1)所求拋物線的頂點坐標為(2,4),故可設其函數表達式為y=a(x-2)²+4…1分

又拋物線過點(0,0),得0=a(0-2)²+4,解得:a= -1

所以,該拋物線的函數表達式為: y=-(x-2)²+4即y=-x²+4x.           ………………3分

(2)①點P不在直線ME上.                                       ………………4分

由拋物線的對稱性可知:點E的坐標為(4,0).

又點M的坐標為(2,4),設直線ME的表達式為y=kx+b,則有

,所以直線ME的表達式為y=-2x+8.        ………………6分

 

由已知條件可知,當t=時,OA=AP=∴點P的坐標為(,).

 

∵點P的坐標不滿足直線ME的函數表達式y=-2x+8,

∴點P不在直線ME上.                                         ………………7分

②S存在最大值,理由如下:                                           ………8分

由題意可知: OA=AP=t,又∵點A在x軸的非負半軸上,點N在拋物線y=-x²+4x上,

∴點P與點N的坐標分別為(t,t)、(t,-t²+4t),∴AN=-t²+4t(0≤t≤3),

∴PN=AN-AP=-t²+4t-t=-t²+3t.

(i)當PN=0即t=0或t=3時,以點P、N、C、D為頂點的圖形是三角形,此三角形的高是AD,底邊為CD, ∴S=.                    ………………9分

 

(ii)當PN≠0時, 以點P、N、C、D為頂點的圖形是四邊形.

 

∴.

 

所以當t=時,S_最大值=.

 

所以,當t=時,以點P、N、C、D為頂點的圖形面積有最大值,其最大值為.………11分

 

解析:略