Question

2011年上半年，黃岡大別山地區某市某種農產品受不良炒作的影響，價格一路上揚，8月初國家實施調控措施后，該農產品的價格開始回落，經市場調研發現，1月份至12月份，該農產品的月平均價格y（元/千克）與月份x之間的函數關系式對應的點都在如圖所示的圖象上；該圖象從左至右，依次是線段AB、曲線BC，其中曲線BC為拋物線的一部分，已知1月、7月、9月和12月這四個月的月平均價格分別為8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克．
（1）求該農產品的月平均價格y（元/千克）與月份x之間的函數關系式？
（2）2011年的12個月中，這種農產品的月平均價格哪個月最低？最低為多少？
（3）若以12個月份的月平均價格的平均數為年平均價格，月平均價格高于年平均價格的月份有哪些？

Answer 1

解：（1）當1≤x≤7時，設y=kx+m．
將點（1，8）、（7，26）分別代入y=kx+m，
得
解之，得
∴函數解析式為y=3x+5；
當7≤x≤12時，設y=ax²+bx+c（a≠0）．
將（7，26）、（9，14）、（12，11）分別代入y=ax²+bx+c，
得：
解之，得
∴函數解析式為y=x²-22x+131．
故該農產品的月平均價格y（元/千克）與月份x之間的函數關系式為：
；

（2）當1≤x≤7時，函數y=3x+5中y隨x的增大而增大，
∴當x_最小值=1時，y_最小值=3×1+5=8．
當7≤x≤12時，y=x²-22x+131=（x-11）²+10，
∴當x=11時，y_最小值=10．
所以，該農產品平均價格最低的是1月，最低為8元/千克．

（3）∵1至7月份的月平均價格呈一次函數，
∴x=4時的月平均價格17是前7個月的平均值．
將x=8，x=10和x=11分別代入y=x²-22x+131，得y=19，y=11和y=10．
∴后5個月的月平均價格分別為19，14，11，10，11．
∴年平均價格為（元/千克）．
當x=3時，y=14＜15.3．
∴4，5，6，7，8這五個月的月平均價格高于年平均價格．
分析：（1）根據函數圖象，函數解析式分為兩段，當1≤x≤7時，為一次函數解析式，當7≤x≤12時，為二次函數解析式，分別設一次函數、二次函數解析式，根據圖象上的點，分別求解析式；
（2）由圖象可知一次函數最小值為8，用配方法求二次函數的頂點式，得出二次函數的最小值，比較最小值即可；
（3）由一次函數可知，以x=4時的月平均價格17代表前7個月的平均值，再根據二次函數解析式，分別求出后5個月的月的平均值，再求年平均價格，把那個月的月平均價格與年平均價格進行比較即可．
點評：本題考查了二次函數的應用，一次函數的應用．關鍵是根據函數圖象，分段求出兩個函數解析式，運用解析式解題．