Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）設點P是位于直線BC下方的拋物線上一動點，過點P作y軸的平行線交直線BC于點Q，求線段PQ的最大值；
（3）在（2）的條件下，拋物線的對稱軸與直線BC交于點M，問是否存在點P，使以M、P、Q為頂點的三角形與△CBO相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（1，0），B（3，0），C（0，3）三點代入y=ax2+bx+c，

得 ，解得 ，

則拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3；

（2）

解：設直線BC的解析式為y=mx+n，

將點B，C坐標代入y=mx+n，

得 ，解得 ，

所以直線BC的解析式為y=﹣x+3．

設P點坐標為（t，t2﹣4t+3），則Q坐標為（t，﹣t+3），

∴PQ=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣ ）2+ ，

∴當t= 時，PQ的值最大，最大值為 ；

（3）

解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴拋物線的對稱軸為直線x=2，

∵點M是對稱軸與直線BC的交點，

∴將x=2代入y=﹣x+3，得y=﹣2+3=1，即M（2，1）．

∵PQ∥y軸，

∴∠PQB=∠OCB，

∴以M，P，Q為頂點的三角形與△OBC相似包含兩種情況：△PMQ∽△OBC或△MPQ∽△OBC．

①當△PMQ∽△OBC時，∠QPM=∠COB=90°，即PM⊥PQ，

∴yP=yM=1，

將yP=1代入y=x2﹣4x+3，得x2﹣4x+3=1，

解得x1=2﹣ ，x2=2+ （舍去），

∴此時P（2﹣ ，1）；

②當△MPQ∽△OBC時，∠QMP=∠COB=90°，即PM⊥BC，

∴kPM= =1，

∴可設直線PM的解析式為y=x+d，

將M（2，1）代入y=x+d，

得2+d=1，解得d=﹣1，

∴y=x﹣1，

解方程組 ，得 ， （舍去），

∴此時P（1，0）．

綜上所述，存在點P，使以點M，P，Q為頂點的三角形與△OBC相似，P點坐標為（2﹣ ，1）或（1，0）．

【解析】（1）把A（1，0），B（3，0），C（0，3）三點代入y=ax2+bx+c，利用待定系數法求得拋物線的解析式；（2）利用待定系數法求得直線BC的解析式為y=﹣x+3．設P點坐標為（t，t2﹣4t+3），則Q坐標為（t，﹣t+3），那么PQ=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t，再利用配方法化為頂點式，即可求出PQ的最大值；（3）由PQ∥y軸，得出∠PQB=∠OCB，那么以M，P，Q為頂點的三角形與△OBC相似包含兩種情況：①當△PMQ∽△OBC時，PM⊥PQ，yP=yM=1，易求P（2﹣ ，1）；②當△MPQ∽△OBC時，先求直線PM的解析式，再聯立PM與拋物線的解析式，求出P（1，0）．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)．