Question

【題目】在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，點P是對角線AC上的一個動點，過點P作EF垂直于AC交AD于點E，交AB于點F，將△AEF折疊，使點A落在點A′處，當△A′CD時等腰三角形時，AP的長為 ．

Answer 1

【答案】 或
【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD=5，∠DAC=∠BAC，
∵EF⊥AA′，
∴∠EPA=∠FPA=90°，
∴∠EAP+∠AEP=90°，∠FAP+∠AFP=90°，
∴∠AEP=∠AFP，
∴AE=AF，
∵△A′EF是由△AEF翻折，
∴AE=EA′，AF=FA′，
∴AE=EA′=A′F=FA，
∴四邊形AEA′F是菱形，
∴AP=PA′
①當CD=CA′時，∵AA′=AC﹣CA′=3，
∴AP= AA′= ．
②當A′C=A′D時，∵∠A′CD=∠A′DC=∠DAC，
∴△A′CD∽△DAC，
∴ = ，
∴A′C= ，
∴AA=8﹣ = ，
∴AP= AA′= ．
故答案為 或 ．

首先證明四邊形AEA′F是菱形，分兩種情形：①CA′=CD，②A′C=A′D分別計算即可．