Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，頂點B的坐標為（4，2）點M是邊BC上的一個動點（不與B、C重合），反比例函數 （k＞0，x＞0）的圖象經過點M且與邊AB交于點N，連接MN．

（1）當點M是邊BC的中點時，求反比例函數的表達式；

（2）在點M的運動過程中，試證明：是一個定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】

（1）根據待定系數法，可得反比例函數解析式；

（2）根據自變量與函數值的對應關系，可得點M、N坐標，根據線段的和差，可得MB，BN，根據分式的性質，可得答案．

（1）矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，頂點B的坐標為（4，2），點M是邊BC的中點，得M（2，2）．

反比例函數y=（k＞0，x＞0）的圖象經過點M，∴k=2×2=4，反比例函數解析式為：．

（2）設M點坐標為（x，2）．

∵反比例函數y=（k＞0，x＞0）的圖象經過點M，∴2x=k，∴x=，∴MB=4﹣=．

∵反比例函數y=（k＞0，x＞0）的圖象經過點M且與邊AB交于點N，∴N點的橫坐標是4，當x=4時，y=，∴N點的坐標是（4，），∴NB=2﹣=

==2，∴是一個定值．