Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=AC， D為直線BC上一動點（不與B，C重合），在AD的右側作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE．

（1）當D在線段BC上時，求證:△BAD ≌△CAE；

（2）當點D運動到何處時，AC⊥DE，并說明理由；

（3）當CE∥AB時，若△ABD中最小角為20°，直接寫出∠ADB的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當D運動到BC中點時，AC⊥DE，理由見解析；（3）∠ADB=20°或40°或100°

【解析】

（1）根據SAS即可證明；

（2）當點D運動到BC中點時，AC⊥DE，由AB=AC知∠1=∠2，結合∠1=∠3，得出∠2=∠3．根據AE=AD，即可得；

（3）分三種情形分別求解即可解決問題；

解：（1）∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD=∠CAE．

∵AB=AC，AD=AE，

∴△BAD ≌△CAE（SAS）．

（2）當D運動到BC中點時，AC⊥DE ．

∵D是BC中點，AB=AC ，∴∠1=∠2．

∵△BAD ≌△CAE，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．

∵AD=AE，∴AC⊥DE．

∴當D運動到BC中點時，AC⊥DE．

（3）∠ADB=20°或40°或100° ．

理由：①如圖，當點D在CB的延長線上時，

∵CE∥AB，
∴∠BAE=∠AEC，∠BCE=∠ABC，
∵△DAB≌△EAC，
∴∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠ACE，
∴∠BAC=∠BAE+EAC=∠AEC+∠EAC=180°-∠ACE=180°-∠ABD=∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°
∵△ABD中的最小角是∠BAD=20°，則∠ADB=∠ABC-∠BAD=40°．
②當點D在線段BC上時，最小角只能是∠DAB=20°，此時∠ABD=180°-20°-60°=100°．
③ 當點D在BC 延長線上時，最小角只能是∠ADB=20°，
綜上所述，滿足條件的∠ABD的值為20°或40°或100°．