Question

【題目】已知AB是⊙O的直徑，⊙O過BC的中點D，且DE垂直AC于E．

（1）求證：AB=AC；

（2）求證：DE是⊙O的切線；

（3）若AB=13，BC=10，求DE的長

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】試題分析：（1）連結AD，如圖，由圓周角定理得到∠ADB=90°，則AD⊥BC，加上BD=CD，即AD垂直平分BC，所以AB=AC；

（2）連結OD，如圖，先證明OD為△ABC的中位線，根據三角形中位線性質得OD∥AC，而DE⊥AC，所以OD⊥DE，于是根據切線的判定定理可得DE是⊙O的切線；

（3）易得BD=DC=BC=5，AC=AB=13，由勾股定理得到AD=12，再用面積法求出DE的長．

試題解析：解：（1）連結AD，如圖，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∴D為BC的中點，∴BD=CD，∴AB=AC；

（2）連結OD，如圖，∵OA=OB，DB=DC，∴OD為△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線；

（3）BD=DC= BC=5，AC=AB=13，由勾股定理得：AD=12，在Rt△DAC中， AD*DC=AC*DE，∴DE=．