Question

如圖，直線y＝2x－2與x軸交于點A，拋物線y＝ax²＋bx＋c的對稱軸是直線x＝3，拋物線經過點A，且頂點P在直線y＝2x－2上．

（1）求A、P兩點的坐標及拋物線y＝ax²＋bx＋c的解析式；

（2）畫出拋物線的草圖，并觀察圖象寫出不等式ax²＋bx＋c＞0的解集．

 

Answer 1

【答案】

（1）A（1，0），P（3，4），y＝－x²＋6x－5；（2）1＜x＜5

【解析】

試題分析：（1）把y＝0、x＝3分別代入y＝2x－2，即可求得A、P兩點的坐標，由點P為拋物線的頂點坐標，則可設出頂點式，再將A點的坐標代入，即可求得拋物線的解析式，最后化為一般式即可；

（2）先畫出拋物線的草圖，再求出拋物線與x軸的交點坐標，最后根據圖象的特征即可求得結果.

（1）對于y＝2x－2，

當y＝0時，x＝1．

當x＝3時，y＝4．

∴ A（1，0），P（3，4）．

設拋物線的解析式為y＝a(x－3)²＋4．

將A點的坐標代入，得a(1－3)²＋4＝0，解得a＝－1

∴ 拋物線的解析式為 y＝－(x－3)²＋4，

即 y＝－x²＋6x－5．

（2）拋物線的草圖如圖所示：

解方程－x²＋6x－5＝0，得x₁＝1，x₂＝5．

∴ 不等式－x²＋6x－5＞0的解集是1＜x＜5．

考點：二次函數的圖象

點評：在求二次函數的解析式的問題時，若知道圖象的頂點坐標或對稱軸，解析式一般設成頂點式.