Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2﹣6x+c與x軸交于點A（﹣5，0）、B（﹣1，0），與y軸交于點C（0，﹣5），點P是拋物線上的動點，連接PA、PC，PC與x軸交于點D．

（1）求該拋物線所對應的函數解析式；
（2）若點P的坐標為（﹣2，3），請求出此時△APC的面積；
（3）過點P作y軸的平行線交x軸于點H，交直線AC于點E，如圖2．
①若∠APE=∠CPE，求證： ；
②△APE能否為等腰三角形？若能，請求出此時點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：解：設拋物線解析式為y=a（x+5）（x+1），

把C（0，﹣5）代入得a51=﹣5，解得a=﹣1，

所以拋物線解析式為y=﹣（x+5）（x+1），即y=﹣x2﹣6x﹣5

（2）

解：解：設直線AC的解析式為y=mx+n，

把A（﹣5，0），C（0，﹣5）代入得 ，解得 ，

∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣5，

作PQ∥y軸交AC于Q，如圖1，

則Q（﹣2，﹣3），

∴PQ=3﹣（﹣3）=6，

∴S△APC=S△APQ+S△CPQ= PQ5= ×6×5=15；

（3）

解：①證明：∵∠APE=∠CPE，

而PH⊥AD，

∴△PAD為等腰三角形，

∴AH=DH，

設P（x，﹣x2﹣6x﹣5），則OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，

∵PH∥OC，

∴△PHD∽△COD，

∴PH：OC=DH：OD，即（﹣x2﹣6x﹣5）：5=DH：（﹣x﹣DH），

∴DH=﹣x﹣ ，

而AH+OH=5，

∴﹣x﹣x﹣ =5，

整理得2x2+17x+35=0，解得x1=﹣ ，x2=﹣5（舍去），

∴OH= ，

∴AH=5﹣ = ，

∵HE∥OC，

∴ = = ；

②能．設P（x，﹣x2﹣6x﹣5），則E（x，﹣x﹣5），

當PA=PE，因為∠PEA=45°，所以∠PAE=45°，則點P與B點重合，此時P點坐標為（﹣1，0）；

當AP=AE，如圖2，

則PH=HE，即|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，解﹣x2﹣6x﹣5=﹣x﹣5得x1=﹣5（舍去），x2=0（舍去）；解﹣x2﹣6x﹣5=x+5得x1=﹣5（舍去），x2=﹣2，此時P點坐標為（﹣2，3）；

當E′A=E′P，如圖2，AE′= E′H′= （x+5），P′E′=﹣x﹣5﹣（﹣x2﹣6x﹣5）=x2+5x，則x2+5x= （x+5），解得x1=﹣5（舍去），x2= ，此時P點坐標為（ ，﹣7﹣6 ），

綜上所述，滿足條件的P點坐標為（﹣1，0），（﹣2，3），（ ，﹣7﹣6 ）

【解析】（1）設交點式為y=a（x+5）（x+1），然后把C點坐標代入求出a即可；（2）先利用待定系數法求出直線AC的解析式為y=﹣x﹣5，作PQ∥y軸交AC于Q，如圖1，由P點坐標得到Q（﹣2，﹣3），則PQ=6，然后根據三角形面積公式，利用S△APC=S△APQ+S△CPQ進行計算；（3）①由∠APE=∠CPE，PH⊥AD可判斷△PAD為等腰三角形，則AH=DH，設P（x，﹣x2﹣6x﹣5），則OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，通過證明△PHD∽△COD，利用相似比可表示出DH=﹣x﹣ ，則﹣x﹣x﹣ =5，則解方程求出x可得到OH和AH的長，然后利用平行線分線段成比例定理計算出 = ； ②設P（x，﹣x2﹣6x﹣5），則E（x，﹣x﹣5），分類討論：當PA=PE，易得點P與B點重合，此時P點坐標為（﹣1，0）；當AP=AE，如圖2，利用PH=HE得到|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，當E′A=E′P，如圖2，AE′= E′H′= （x+5），P′E′=x2+5x，則x2+5x= （x+5），然后分別解方程求出x可得到對應P點坐標．本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征和等腰三角形的判定；會運用待定系數法求函數解析式；理解坐標與圖形性質，能運用相似比計算線段的長；會運用方程的思想和分類討論的思想解決問題．