Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，OABC的一個頂點與坐標原點重合，OA邊落在x軸上，且OA=4，OC=2，∠COA=45°．反比例函數y=（k＞0，x＞0）的圖象經過點C，與AB交于點D，連接AC，CD．

（1）試求反比例函數的解析式；

（2）求證：CD平分∠ACB；

（3）如圖2，連接OD，在反比例的函數圖象上是否存在一點P，使得S△POC=S△COD？如果存在，請直接寫出點P的坐標．如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3） P的坐標為（﹣1， +1）或P（+1， ﹣1）．

【解析】試題分析：（1）過點C作CE⊥x軸于E，已知OC=2，∠COA=45°，根據勾股定理求得OE=CE=2，即可得點C的坐標，代入y=求得k值，即可得反比例函數的解析式；（2）過點D作DG⊥x軸于G，交BC于F，先求得直線AB的解析式，把反比例函數的解析式和直線AB的解析式聯立，解方程組，求得點D的坐標，再求得AD和DE的長，根據角平分線的判定定理即可證得CD平分∠ACB；（3）存在，分點P在點C右側時和點P在點C左側時兩種情況求點P的坐標即可.

試題解析：

（1）如圖1，過點C作CE⊥x軸于E，

∴∠CEO=90°，

∵∠COA=45°，

∴∠OCE=45°，

∵OC=2，

∴OE=CE=2，

∴C（2，2），

∵點C在反比例函數圖象上，

∴k=2×2=4，

∴反比例函數解析式為y=，

（2）如圖2，過點D作DG⊥x軸于G，交BC于F，

∵CB∥x軸，

∴GF⊥CB，

∵OA=4，

由（1）知，OC=CE=2，

∴AE=EC=2，

∴∠ECA=45°，∠OCA=90°，

∵OC∥AB，

∴∠BAC=∠OCA=90°，

∴AD⊥AC，

∵A（4，0），AB∥OC，

∴直線AB的解析式為y=x﹣4①，

∵反比例函數解析式為y=②，

聯立①②解得，或（舍），

∴D（2+2，2﹣2），

∴AG=DG=2﹣2，

∴AD=DG=4﹣2，

∴DF=2﹣（2﹣2）=4﹣2，

∴AD=DF，

∵AD⊥AC，DF⊥CB，

∴點D是∠ACB的角平分線上，

即：CD平分∠ACB；

（3）存在，∵點C（2，2），

∴直線OC的解析式為y=x，OC=2，

∵D（2+2，2﹣2），

∴CD=2﹣2

Ⅰ、如圖3，當點P在點C右側時，即：點P的橫坐標大于2，

∵S△POC=S△COD，

∴設CD的中點為M，

∴M（+2，），

過點M作MP∥OC交雙曲線于P，

∴直線PM的解析式為y=x﹣2③，

∵反比例函數解析式為y=④，

聯立③④解得，

或（舍），

∴P（+1，﹣1）；

Ⅱ、當點P'在點C左側時，即：點P'的橫坐標大于0而小于2，

設點M關于OC的對稱點為M'，M'（m，n），

∴=2， =2，

∴m=2﹣，n=4﹣，

∴M'（2﹣，4﹣），

∵P'M'∥OC，

∴直線P'M'的解析式為y=x+2⑤，

聯立④⑤解得，或（舍），

∴P'（﹣1， +1）．

即：點P的坐標為（﹣1， +1）或P（+1，﹣1）．