Question

【題目】如圖，拋物線 （m＜0）的頂點為A，交y軸于點C．

（1）求出點A的坐標（用含m的式子表示）；
（2）平移直線y=x經過點A交拋物線C于另一點B，直線AB下方拋物線C上一點P，求點P到直線AB的最大距離
（3）設直線AC交x軸于點D，直線AC關于x軸對稱的直線交拋物線C于E、F兩點．若∠ECF=90°，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ ，

∴頂點A坐標

（2）

解：∵直線AB的解析式為 ，

設P ，

過點P作PQ∥y軸交AB于Q，如圖1中，

∴Q

∴PQ=

= ，

當 時，PQ有最大值為 ，

∵PQ與直線AB的夾角為45°

∴P到直線AB的距離d的最大值為 ．

（3）

解：A（﹣m，﹣ m2+m）、C（0，m）

A′（﹣m， m2﹣m，）、C′（0，﹣m）

∴直線EF的解析式為y=﹣ mx﹣m，

設E（x1，y1）、F（x2，y2）

過點C作MN∥x軸，過點E作EM⊥MN于M，過點F作FN⊥MN于N，

∵∠ECF=90°，

∴∠ECM+∠FCN=90°，∠FCN+∠CFN=90°，

∴∠ECM=∠CFN，∵∠EMC=∠FNC=90°，

∴Rt△EMC∽Rt△CNF，∴ ，

即 ，

化簡得：y1y2﹣m（y1+y2）+m2=﹣x1x2

由 ，消去y，整理得：x2+3mx+4m=0

∴x1+x2=﹣3m，x1x2=4m

y1y2=（﹣ mx1﹣m）（﹣ mx2﹣m）=﹣ m3+m2

y1+y2= m2﹣2m，

∴﹣ m3+m2﹣m（ m2﹣2m）+m2=﹣4m，

∴m（m-2m-2）=0

解得m=1- 或1+ 或0，

∵m＜0，∴m=1- .

【解析】把拋物線的解析式寫成頂點式的形式，表示出頂點；表示出PQ的距離，根據二次的函數的性質求最值。
【考點精析】掌握二次函數的圖象和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．