Question

如圖，在?ABCD中，AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點E、F，AE、BF相交于點M．
（1）試說明：AE⊥BF；
（2）判斷線段DF與CE的大小關系，并予以說明．

Answer 1

分析：（1）因為AE，BF分別是∠DAB，∠ABC的角平分線，那么就有∠MAB=

1

2

∠DAB，∠MBA=

1

2

∠ABC，而∠DAB與∠ABC是同旁內角互補，所以，能得到∠MAB+∠MBA=90°，即得證．
（2）兩條線段相等．利用平行四邊形的對邊平行，以及角平分線的性質，可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形，那么就有CF=BC=AD=DE，再利用等量減等量差相等，可證．

解答：解：
（1）方法一：如圖①，
∵在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°．（1分）
∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF．（2分）
∴2∠BAE+2∠ABF=180°．
即∠BAE+∠ABF=90°．（3分）
∴∠AMB=90°．
∴AE⊥BF．（4分）
方法二：如圖②，延長BC、AE相交于點P，
∵在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB．（1分）
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB．（2分）
∴∠APB=∠PAB．
∴AB=BP．（3分）
∵BF平分∠ABP，
∴AP⊥BF，
即AE⊥BF．（4分）

（2）方法一：線段DF與CE是相等關系，即DF=CE，（5分）
∵在?ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA=∠EAB．
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB．
∴∠DEA=∠DAE．
∴DE=AD．（6分）
同理可得，CF=BC．（7分）
又∵在?ABCD中，AD=BC，
∴DE=CF．
∴DE-EF=CF-EF．
即DF=CE．（8分）
方法二：如圖，延長BC、AE設交于點P，延長AD、BF相交于點O，
∵在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB．
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB．
∴∠APB=∠PAB．
∴BP=AB．
同理可得，AO=AB．
∴AO=BP．（6分）
∵在?ABCD中，AD=BC，
∴OD=PC．
又∵在?ABCD中，DC∥AB，
∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA．（7分）
∴

OD

OA

=

DF

AB

，

PC

PB

=

EC

AB

．
∴DF=CE．（8分）

點評：本題利用了角平分線的性質，平行四邊形的性質以及等量減等量差相等等知識．