Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，a≠0）經過點A（﹣1，0），B（5，﹣5），C（6，0）

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，在直線AB下方的拋物線上是否存在點P使四邊形PACB的面積最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）若點Q為拋物線的對稱軸上的一個動點，試指出使△QAB為等腰三角形的點Q一共有幾個？并請你求出其中一個點Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：設y=a（x+1）（x﹣6）（a≠0），

把B（5，﹣5）代入：a（5+1）（5﹣6）=﹣5，

a= ，

∴y= （x+1）（x﹣6）= x2﹣ x﹣5

（2）解：存在，

如圖1

分別過P、B向x軸作垂線PM和BN，垂足分別為M、N，

設P（m， m2﹣ m﹣5），四邊形PACB的面積為S，

則PM=﹣ m2+ m+5，AM=m+1，MN=5﹣m，CN=6﹣5=1，BN=5，

∴S=S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC，

= （﹣ m2+ m+5）（m+1）+ （5﹣ m2+ m+5）（5﹣m）+ ×1×6，

=﹣ （m2﹣4m+4）+

=﹣ （m﹣2）2+ ，

當m=2時，S有最大值為 ，這時 m2﹣ m﹣5= ×22﹣ ×2﹣5=﹣10，

∴P（2，﹣10）

（3）解：這樣的Q點一共有5個，

①以A為圓心，以AB為半徑畫弧，交拋物線的對稱軸于Q1、Q4，則AQ1=AQ4=AB，

設對稱軸交x軸于E，

y= x2﹣ x﹣5= （x﹣ ）2﹣ ；

∴拋物線的對稱軸是：x= ，

∵A（﹣1，0），B（5，﹣5），

∴AB= = ，

∴AE= +1= ，

由勾股定理得：Q1E=Q4E= = ，

∴Q1（ ， ），Q4（ ，﹣ ）

②

以B為圓心，以AB為半徑畫弧，交拋物線的對稱軸于Q2、Q5，

∴Q2F=Q5F=AB= ，

過B作BF⊥Q1Q5于F，則Q2F=Q5F，

∵B（5，﹣5），

∴BF= ，

由勾股定理得：Q2F= = ，

∴Q5E= +5= ，

∴Q5（ ，﹣ ），

∵Q2E= ﹣5= ，

∴Q2（ ， ），

③連接Q3A、Q3B，

因為Q3在對稱軸上，所以設Q3（ ，y），

∵△Q3AB是等腰三角形，且Q3A=Q3B，

由勾股定理得：（ +1）2+y2=（ ﹣5）2+（y+5）2，

y=﹣ ，

∴Q3（ ，﹣ ）．

綜上所述，點Q的坐標為：Q1（ ， ），Q2（ ， ），Q3（ ，﹣ ）．Q4（ ，﹣ ）Q5（ ，﹣ ）

【解析】（1）拋物線經過點A（﹣1，0），B（5，﹣5），C（6，0），可利用兩點式法設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣6），代入B（5，﹣5）即可求得函數的解析式；（2）作輔助線，將四邊形PACB分成三個圖形，兩個三角形和一個梯形，設P（m， m2﹣ m﹣5），四邊形PACB的面積為S，用字母m表示出四邊形PACB的面積S，發現是一個二次函數，利用頂點坐標求極值，從而求出點P的坐標．（3）分三種情況畫圖：①以A為圓心，AB為半徑畫弧，交對稱軸于Q1和Q4，有兩個符合條件的Q1和Q4；②以B為圓心，以BA為半徑畫弧，也有兩個符合條件的Q2和Q5；③作AB的垂直平分線交對稱軸于一點Q3，有一個符合條件的Q3；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出Q3坐標．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的性質，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．