Question

【題目】（1）如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直線ED經過點C，過A作AD⊥ED于點D，過B作BE⊥ED于點E．
求證：△BEC≌△CDA；
（模型應用）
（2）①已知直線l1：y=x+4與坐標軸交于點A、B，將直線l1繞點A逆時針旋轉45o至直線l2，如圖2，求直線l2的函數表達式；
②如圖3，長方形ABCO，O為坐標原點，點B的坐標為（8，-6），點A、C分別在坐標軸上，點P是線段BC上的動點，點D是直線y=-2x+6上的動點且在第四象限．若△APD是以點D為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出點D的坐標．

Answer 1

【答案】⑴證明見解析；⑵y=-7x-21；⑶D（4，-2），（，）.

【解析】

（1）根據△ABC為等腰直角三角形，AD⊥ED，BE⊥ED，可判定△ACD≌△CBE；

（2）①過點B作BC⊥AB，交l2于C，過C作CD⊥y軸于D，根據△CBD≌△BAO，得出BD=AO=3，CD=OB=4，求得C（-4，7），最后運用待定系數法求直線l2的函數表達式；

②根據△APD是以點D為直角頂點的等腰直角三角形，當點D是直線y=-2x+6上的動點且在第四象限時，分兩種情況：當點D在矩形AOCB的內部時，當點D在矩形AOCB的外部時，設D（x，-2x+6），分別根據△ADE≌△DPF，得出AE=DF，據此列出方程進行求解即可．

（1）證明：如圖1，

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴CB=CA，∠ACD+∠BCE=90°，

又∵AD⊥ED，BE⊥ED，

∴∠D=∠E=90°，∠EBC+∠BCE=90°，

∴∠ACD=∠EBC，

在△ACD與△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）①如圖2，過點B作BC⊥AB，交l2于C，過C作CD⊥y軸于D，

∵∠BAC=45°，

∴△ABC為等腰直角三角形，

由（1）可知：△CBD≌△BAO，

∴BD=AO，CD=OB，

∵直線l1：y=x+4中，若y=0，則x=-3；若x=0，則y=4，

∴A（-3，0），B（0，4），

∴BD=AO=3，CD=OB=4，

∴OD=4+3=7，

∴C（-4，7），

設l2的解析式為y=kx+b，則

，

解得，

∴l2的解析式：y=-7x-21；

②D（4，-2），（，）．

理由：當點D是直線y=-2x+6上的動點且在第四象限時，分兩種情況：

當點D在矩形AOCB的內部時，如圖，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，

設D（x，-2x+6），則OE=2x-6，AE=6-（2x-6）=12-2x，DF=EF-DE=8-x，

由（1）可得，△ADE≌△DPF，則DF=AE，

即：12-2x=8-x，

解得x=4，

∴-2x+6=-2，

∴D（4，-2），

此時，PF=ED=4，CP=6=CB，符合題意；

當點D在矩形AOCB的外部時，如圖，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，

設D（x，-2x+6），則OE=2x-6，AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12，DF=EF-DE=8-x，

同理可得：△ADE≌△DPF，則AE=DF，

即：2x-12=8-x，

解得x=，

∴-2x+6=-，

∴D（，-），

此時，ED=PF=，AE=BF=，BP=PF-BF=＜6，符合題意．