Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，點D是線段BC的中點，∠EDF＝120°，DE與線段AB相交于點E，DF與線段AC（或AC的延長線）相交于點F．

（1）如圖1，若DF⊥AC，垂足為F，證明：DE＝DF

（2）如圖2，將∠EDF繞點D順時針旋轉一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F．DE＝DF仍然成立嗎？說明理由．

（3）如圖3，將∠EDF繼續繞點D順時針旋轉一定的角度，使DF與線段AC的延長線相交于點F，DE＝DF仍然成立嗎？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）結論仍然成立.，DE＝DF，見解析；（3）仍然成立，DE＝DF，見解析

【解析】

（1）由題意根據全等三角形的性質與判定，結合等邊三角形性質證明△BED≌△CFD（ASA），即可證得DE＝DF；

（2）根據題意先取AC中點G,連接DG,繼而再全等三角形的性質與判定，結合等邊三角形性質證明△EDG≌△FDC（ASA），進而證得DE＝DF；

（3）由題意過點D作DN⊥AC于N,DM⊥AB于M, 繼而再全等三角形的性質與判定，結合等邊三角形性質證明△DME≌△DNF（ASA），即可證得DE＝DF．

解：（1）∵AB=AC，∠A=60°，

∴△ABC是等邊三角形,即∠B=∠C=60°,

∵D是BC的中點,

∴BD=CD,

∵∠EDF=120°，DF⊥AC，

∴∠FDC=30°,

∴∠EDB=30°，

∴△BED≌△CFD（ASA）,

∴DE=DF.

（2）取AC中點G,連接DG,如下圖,

∵D為BC的中點,

∴DG=AC=BD=CD,

∴△BDG是等邊三角形,

∴∠GDE+∠EDB=60°,

∵∠EDF=120°,

∴∠FDC+∠EDB=60°,

∴∠EDG=∠FDC,

∴△EDG≌△FDC（ASA）,

∴DE=DF，

∴結論仍然成立.

（3）如下圖,過點D作DN⊥AC于N,DM⊥AB于M,

∴∠DME=∠DNF=90°,

由（1）可知∠B=∠C=60°,

∴∠NDC=∠BDM=30°,DM=DN,

∴∠MDN=120°,即∠NDF=∠MDE,

∴△DME≌△DNF（ASA）,

∴DE=DF,

∴仍然成立.