Question

【題目】如圖，直線y=2x+2與y軸交于A點，與反比例函數（x＞0）的圖象交于點M，過M作MH⊥x軸于點H，且tan∠AHO=2．

（1）求k的值；

（2）點N（a，1）是反比例函數（x＞0）圖象上的點，在x軸上是否存在點P，使得PM+PN最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2。

∵tan∠AHO=2，∴OH=1。

∵MH⊥x軸，∴點M的橫坐標為1。

∵點M在直線y=2x+2上，

∴點M的縱坐標為4．即M（1，4）。

∵點M在上，∴k=1×4=4。

（2）存在。

∵點N（a，1）在反比例函數（x＞0）上，

∴a=4．即點N的坐標為（4，1）。

過點N作N關于x軸的對稱點N1，連接MN1，交x軸于P（如圖所示）。

此時PM+PN最小。

∵N與N1關于x軸的對稱，N點坐標為（4，1），∴N1的坐標為（4，﹣1）。

設直線MN1的解析式為y=kx+b。

由解得。

∴直線MN1的解析式為。

令y=0，得x=．

∴P點坐標為（，0）。

【解析】（1）根據直線解析式求A點坐標，得OA的長度；根據三角函數定義可求OH的長度，得點M的橫坐標；根據點M在直線上可求點M的坐標．從而可求K的值；

（2）根據反比例函數解析式可求N點坐標；作點N關于x軸的對稱點N1，連接MN1與x軸的交點就是滿足條件的P點位置：

根據軸對稱的性質，線段中垂線的性質和三角形三邊關系，對x軸上任一點P1，總有

P1M＋P1N＞MN1=PM＋PN。