Question

【題目】已知在△ABC中，AB＝AC在射線AC上取一點D，以D為頂點、DB為一條邊作∠BDF＝∠A，點E在AC的延長線上，∠ECF＝∠ACB

(1)如圖(1)，當點D在邊AC上時，求證:①∠FDC＝∠ABD②DB＝DF

(2)如圖(2)，當點D在AC的延長線上時，請判斷DB與DF是否相等，并說明理由

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）相等，理由見解析.

【解析】

（1）①利用外角定理及角的和差關系即可證明；

②過點D分別作DM垂直BC于M ,DN垂直CF交FC的延長線于N，先證明△DMC≌△DNC，再證明△DBM≌△DFN，最后利用全等的性質即可得到結果；

（2）過點D分別作DP垂直CF于P ,DQ垂直BC交BC的延長線于Q，先證明△DPC≌△DQC，再證明△DPF≌△DQB，最后利用全等的性質即可得到結果.

（1）證明：①∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠BDC=∠BDF+∠FDC，且∠A=∠BDF，

∴∠FDC=∠ABD；

②過點D分別作DM垂直BC于M ,DN垂直CF交FC的延長線于N，

∴∠DMB=∠DMC=90°，∠DNC=∠DNF=90°，

∴∠DMC=∠DNC=90°，

∵∠ECF=∠ACB，∠ECF=∠ACN (對頂角相等），

∴∠ACB=∠ACN，

又∵CD=CD，

∴△DMC≌△DNC (AAS)，

∴DM=DN，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC=∠ECF，

∵∠ECF=∠FDC+∠DFN，∠ABC=∠ABD+∠DBM，

且由①知，∠FDC=∠ABD，

∴∠DBM=∠DFN，

又∵∠DMB=∠DNF=90°，

∴△DBM≌△DFN (AAS)，

∴DB=DF；

（2）解：DB=DF，理由如下：

過點D分別作DP垂直CF于P ,DQ垂直BC交BC的延長線于Q，

∴∠DPC=∠DPF=90°，∠DQC=∠DQB=90°，

∴∠DPC=∠DQC=90°，∠DPF=∠DQB=90°，

∵∠ACB=∠DCQ (對頂角相等），∠ACB=∠ECF，

∴∠ECF=∠DCQ，

∵CD=CD，

∴△DPC≌△DQC (AAS)，

∴DP=DQ，

∵∠BDE=∠ABD+∠A，∠BDE=∠BDF+∠EDF，且∠BDF=∠A，

∴∠ABD=∠EDF，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC=∠ECF，

∵∠ABD=∠ABC+∠DBQ，∠EDF=∠ECF+∠DFP，

∴∠DBQ=∠DFP，

∴△DPF≌△DQB (AAS)，

∴DB=DF.