Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2－(2a＋1)x＋b的圖象經過(2，－1)和(－2，7)且與直線y＝kx－2k－3相交于點P(m，2m－7)

(1) 求拋物線的解析式

(2) 求直線y＝kx－2k－3與拋物線y＝ax2－(2a＋1)x＋b的對稱軸的交點Q的坐標

(3) 在y軸上是否存在點T，使△PQT的一邊中線等于該邊的一半？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】見解析

【解析】分析：（1）根據拋物線y=ax2﹣（2a+1）x+b的圖象經過（2，﹣1）和（﹣2，7），求得a，b的值即可得到拋物線的解析式；

（2）先根據拋物線的圖象經過點P（m，2m﹣7），求得點P的坐標，再根據直線y=kx﹣2k﹣3經過點P，求得k的值，最后根據拋物線的對稱軸為直線x=2，求得點Q的坐標；

（3）設點T的坐標為（0，t），M為PQ的中點，連結TM，分三種情況討論：∠PTQ=90°時，∠PQT=90°時，∠QPT=90°時，分別根據勾股定理列出關于t的方程進行求解即可．

詳解：（1）∵拋物線y=ax2﹣（2a+1）x+b的圖象經過（2，﹣1）和（﹣2，7），

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x+1；

(2) ∵拋物線的圖象經過點P(m，2m－7)

∴2m－7＝m2－2m＋1，解得m1＝m2＝4

∴P(4，1)

∵直線y＝kx－2k－3經過點P

∴4k－2k－3＝1，k＝2

∴直線PQ的解析式為y＝2x－7

∵

∴拋物線的對稱軸為直線x＝2

當x＝2時，y＝2×2－7＝－3

∴Q(2，－3)

(3) 若△PQT的一邊中線等于該邊的一半

則△PQT為直角三角形

設T(0，t)

過點P作PA⊥y軸于A，交直線x＝2于點C，過點Q作QB⊥y軸于B

則AT＝|1－t|，BT＝|－3－t|

∵PA＝4，QB＝2，PC＝2，CQ＝4

∴PQ＝

① 當∠PTQ＝90°時

∵PQ2＝TQ2＋TP2＝BT2＋QB2＋PA2＋AT2＝(－3－t)2＋22＋(1－t)2＋42＝20

∴2t2＋4t＋10＝0，方程無解

② 當∠PQT＝90°時，PQ2＋QT2＝PT2

∴20＋22＋(－3－t)2＝42＋(1－t)2，解得t＝－2

③ 當∠QPT＝90°時，TQ＝PT＋PQ

∴4＋(－3－t)2＝16＋(1－t)2＋20，解得t＝3.