Question

【題目】如圖，已知直線y＝x+2與x軸、y軸分別交于點B，C，拋物線y＝x2+bx+c過點B、C，且與x軸交于另一個點A．

（1）求該拋物線的表達式；

（2）若點P是x軸上方拋物線上一點，連接OP．

①若OP與線段BC交于點D，則當D為OP中點時，求出點P坐標．

②在拋物線上是否存在點P，使得∠POC＝∠ACO若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）①點P坐標為（2，3）；②存在點P（，﹣1）或（，﹣7）使得∠POC＝∠ACO

【解析】

（1）與x軸、y軸分別交于點B（4，0）、C（0，2），由題意可得即可求解；

（2）①過點P作PE∥OC，交BC于點E．根據題意得出△OCD≌△PED，從而得出PE＝OC＝2，再根據 即可求解；

②當點P在y軸右側，PO∥AC時，∠POC=∠ACO．拋物線與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側，則點A坐標為（-1，0）．則直線AC的解析式為y=2x+2．直線OP的解析式為y=2x，即可求解；當點P在y軸右側，設OP與直線AC交于點G，當CG=OG時，∠POC=∠ACO，根據等腰三角形三線合一，則CF=OF=1，可得：點G坐標為即可求解．

（1）∵y＝﹣x+2與x軸、y軸分別交于點B（4，0）、C（0，2）．

由題意可得，解得：，

∴拋物線的表達式為y＝﹣x2+x+2；

（2）①如圖，過點P作PE∥OC，交BC于點E．

∵點D為OP的中點，

∴△OCD≌△PED（AAS），

∴PE＝OC＝2，

設點P坐標為（m，﹣m2+m+2），點E坐標為（m，﹣m+2），

則PE＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝2，

解得m1＝m2＝2．

∴點P坐標為（2，3）；

②存在點P，使得∠POC＝∠ACO．

理由：分兩種情況討論．

如上圖，當點P在y軸右側，

PO∥AC時，∠POC＝∠ACO．

∵拋物線與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側，

∴點A坐標為（﹣1，0）．

∴直線AC的解析式為y＝2x+2．

∴直線OP的解析式為y＝2x，

解方程組，解得：x＝（舍去負值）

∴點P坐標為（，﹣1）．

如圖，當點P在y軸右側，

設OP與直線AC交于點G，當CG＝OG時∠POC＝∠ACO，

過點G作GF⊥OC，垂足為F．

根據等腰三角形三線合一，則CF＝OF＝1．

∴可得點G坐標為（﹣，1）

∴直線OG的解析式為y＝﹣2x；

把y＝﹣2x代入拋物線表達式并解得x＝（不合題意值已舍去）．

∴點P坐標為（，﹣7）．

綜上所述，存在點P（，﹣1）或（，﹣7）使得∠POC＝∠ACO．