Question

【題目】如圖，將繞點逆時針旋轉得到，將繞點順時針旋轉得，交于點.

（1）求證：；

（2）若，，求的長；

（3）若，，且時，直接寫出的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）或２.

【解析】

(１)延長交于點，交與點，由旋轉的性質可得，旋轉角，進一步證得DE∥CG，再根據旋轉的性質得到說明，證得四邊形為平行四邊形，即可證明.

(2) 連接，由題意得為等腰直角三角形，證得；又因為，即可，，三點共線；再證明四邊形為矩形，得到，說明為等腰直角三角形，根據銳角的三角函數即可完成解答.

（3）先判斷出四邊形ABCF是矩形，進而得出△DFG是等腰直角三角形，即可得出，再用勾股定理得出，再用建立等式即可得出結論.

（1）證明：延長交于點，交與點，

由題意得：，旋轉角，

∴在和中，，

又∵，

∴，

∵繞點旋轉得到，繞點順時針旋轉得，

∴，

∴四邊形為平行四邊形，

∴.

（2）連接，

∵，，

∴為等腰直角三角形，

∴，

又∵，

∴，，三點共線，

又∵四邊形為平行四邊形，且

∴四邊形為矩形

∴.

∵為等腰直角三角形

∴，

∴.

（3）如圖3：延長DA，CG相交于點F

由旋轉知，∠BAD=∠BCG=90°

∵∠BAF=∠BCF=90°

∴∠ABC=90°

∵四邊形ABCF是矩形，

∴AF=BC，CF=AB，

∴FD=FG，

在Rt△DFG中，

在RtACF中，AF2+CF2=AC2

∴AB2+ BC2=AC2

∴

∴

∴

∴

∴

∴2AB2-5AB·BC+2BC2=0，

∴（2AB-BC）（AB-2BC）=0，

∴2AB-BC=0或AB-2BC=0，

∴或

故答案為：或2