Question

如圖，已知△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，點A、C在x軸上，點B坐標為（3，m）(m＞0)，線段AB與y軸相交于點D，以P（1，0）為頂點的二次函數圖像經過點B、D．

1.請直接寫出用m表示點A、D的坐標

2.求這個二次函數的解析式；

3.點Q為二次函數圖像上點P至點B之間的一點，連結PQ、BQ，求四邊形ABQP面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

 

1.A(3－m，0)，D(0，m－3 )

2.設以P（1，0）為頂點的拋物線的解析式為y＝a(x－1)²(a≠0)

∵拋物線過點B、D，

∴    解得  …………4分

所以二次函數的解析式為y＝(x－1)²，

即：y＝x²－2x＋1  …………5分

3.設點Q的坐標為(x，x²－2 x＋1)，顯然1＜x＜3  …6分

連結BP，過點Q作QH⊥x軸，交BP于點H.

∵A（－1，0），P（1，0），B（3，4）

∴AP＝2，BC＝3，PC＝2

由P（1，0），B（3，4）求得直線BP的解析式為y＝2x－2

∵QH⊥x軸，點Q的坐標為(x，x²－2 x＋1)

∴點H的橫坐標為x，∴點H的坐標為(x，2x－2)

∴QH＝2x－2－(x²－2x＋1)＝－x²＋４x－3  …………7分

∴四邊形ABQP面積S＝S_△APB＋S_△QPB＝×AP×BC＋×QH×PC

＝×2×4＋×(－x²＋４x－３)×2

＝－x²＋４x＋1＝－(x－2)²＋5  …………9分

∵1＜x＜3

∴當x＝2時，S取得最大值為5，  …………10分

即當點Q的坐標為(2，1)時，四邊形ABQP面積的最大值為5

【解析】略