Question

如圖，已知△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，點A、C在x軸上，點B坐標為（3，m）（m＞0），線段AB與y軸相交于點D，以P（1，0）為頂點的拋物線過點B、D．
（1）求點A的坐標（用m表示）；
（2）求拋物線的解析式；
（3）設點Q為拋物線上點P至點B之間的一動點，連接PQ并延長交BC于點E，連接BQ并延長交AC于點F，試證明：FC（AC+EC）為定值．

Answer 1

分析：（1）AO=AC-OC=m-3，用線段的長度表示點A的坐標；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴△AOD也是等腰直角三角形，∴OD=OA，∴D（0，m-3），又P（1，0）為拋物線頂點，可設頂點式，求解析式；
（3）設Q（x，x²-2x+1），過Q點分別作x軸，y軸的垂線，運用相似比求出FC、EC的長，而AC=m，代入即可．

解答：（1）解：由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又△ABC為等腰直角三角形，
∴AC=BC=m，OA=m-3，
∴點A的坐標是（3-m，0）．

（2）解：∵∠ODA=∠OAD=45°∴OD=OA=m-3，則點D的坐標是（0，m-3）．
又拋物線頂點為P（1，0），且過點B、D，
所以可設拋物線的解析式為：y=a（x-1）²，
得：

a(3-1)2=m a(0-1)2=m-3

解得

a=1 m=4

∴拋物線的解析式為y=x²-2x+1；

（3）證明：過點Q作QM⊥AC于點M，過點Q作QN⊥BC于點N，
設點Q的坐標是（x，x²-2x+1），
則QM=CN=（x-1）²，MC=QN=3-x．
∵QM∥CE
∴△PQM∽△PEC
∴

QM

EC

=

PM

PC

即

(x-1)2

EC

=

x-1

2

，得EC=2（x-1）
∵QN∥FC
∴△BQN∽△BFC
∴

QN

FC

=

BN

BC

即

3-x

FC

=

4-(x-1)2

4

，得FC=

4

x+1

又∵AC=4
∴FC（AC+EC）=

4

x+1

[4+2（x-1）]=

4

x+1

（2x+2）=

4

x+1

×2×（x+1）=8
即FC（AC+EC）為定值8．

點評：本題考查了點的坐標，拋物線解析式的求法，綜合運用相似三角形的比求線段的長度，本題也可以先求直線PE、BF的解析式，利用解析式求FC，EC的長．