Question

如圖，已知△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，點A、C在x軸上，點B坐標為（3，m）（m＞0），線段AB與y軸相交于點D，以P（1，0）為頂點的二次函數圖象經過點B、D．
（1）用m表示點A、D的坐標；
（2）求這個二次函數的解析式；
（3）點Q為二次函數圖象上點P至點B之間的一點，且點Q到△ABC邊BC、AC的距離相等，連接PQ、BQ，求四邊形ABQP的面積．

Answer 1

分析：（1）由△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，可得出AO=0D，由點B坐標為（3，m）得出AC的長度和OC的長，從而得出點A、D的坐標；
（2）由二次函數圖象的頂點坐標為P（1，0），且過點B、D，代入y=k（x-1）²，求出即可；
（3）根據四邊形ABQP的面積=△ABC的面積-（△CBQ的面積+△CPQ的面積）求出即可．

解答：解：（1）∵點B坐標為（3，m）（m＞0），
∴OC=3，BC=m．
∵AC=BC，
∴AC=m，
∴點A坐標為（3-m，0），
由題意得：AO=OD，
∴點D坐標為（0，m-3）；

（2）設以P（1，0）為頂點的拋物線的解析式為y=k（x-1）²（k≠0），
∵拋物線過點B、D，
∴

m=k(3-1)2 m-3=k(0-1)2.

，
解得：

m=4 k=1.

，
所以二次函數的解析式為y=（x-1）²，
即：y=x²-2x+1；

（3）設點Q的坐標為（x，y），顯然1＜x＜3，y＞0．
∵點Q到△ABC邊BC、AC的距離相等，
∴QE=FQ=y，
∵CO=3，∴x+y=3，y=3-x，即x²-2x+1=3-x，
整理得x²-x-2=0．解得x=2，x=-1（舍去），
所以y=1，點Q的坐標為（2，1），點Q到邊AC、BC的距離都等于1．
連接CQ，
四邊形ABQP的面積=△ABC的面積-四邊形CBQP的面積，
=△ABC的面積-（△CBQ的面積+△CPQ的面積），
=

1

2

×4×4-（

1

2

×4×1+

1

2

×2×1）=5．

點評：此題主要考查了二次函數解析式的求法和一般四邊形面積求法，將四邊形分割成幾個三角形和差的形式是解決問題的關鍵．