Question

在一個邊長為a（單位：cm）的正方形ABCD中.

（1）如圖1，如果N是AD中點，F為AB中點，連接DF，CN.
①求證：DF=CN；
②連接AC.求DH:HE: EF的值；
（2）如圖2，如果點E、M分別是線段AC、CD上的動點，假設點E從點A出發，以cm/s速度沿AC向點C運動，同時點M從點C出發，以1cm/s的速度沿CD向點D運動，運動時間為t（t＞0），連結DE并延長交正方形的邊于點F，過點M作MN⊥DF于H，交AD于N.判斷命題“當點F是邊AB中點時，則點M是邊CD的三等分點”的真假，并說明理由. （4分）

Answer 1

（1）①證明見解析；②6:4:5；（2）該命題為真命題.

試題分析：（1）①已知題中告訴的結論四邊形為正方形，那么就知道AD=CD，,又知道N是AD中點，F為AB中點，那么就可以得到AF=DN，由此證明△ADF≌△DCN，然后根據全等三角形的性質即可得到結論；②可以根據三角形面積之比來確定線段比例，可以將三條線段歸結到一個大的三角形ADF中去，然后設出未知數來求解；（2）要判斷命題是否正確，我們采用的方法有兩種：一是反證法；二是直接證明，本題中可以采用直接證明法，結合三角形的全等以及線段比例的性質，設出比例系數即可得到問題的答案.
試題解析：（1）①易證△ADF≌△DCN，則DF=CN；
②6:4:5
（2）該命題為真命題.
過點E作EG⊥AD于點G，
依題意得，AE=，易求AG=EG=t，
CM=t，DG=DM=
易證△DGE≌△MDN，∴，
由△ADF∽△DMN，得，
又∵點F是線段AB中點，AB=AD，
∴，∴DM=2DN，即點M是CD的三等分點.