Question

【題目】如圖1，AB∥CD，點E是直線AB、CD之間的一點，連接EA、EC．

（1）探究猜想：

①若∠A＝20°，∠C＝50°，則∠AEC＝　 　．

②若∠A＝25°，∠C＝40°，則∠AEC＝　 　．

③猜想圖1中∠EAB、∠ECD、∠AEC的關系，并證明你的結論（提示：作EF∥AB）．

（2）拓展應用：

如圖2，AB∥CD，線段MN把ABCD這個封閉區域分為I、Ⅱ兩部分（不含邊界），點E是位于這兩個區域內的任意一點，請直接寫出∠EMB、∠END、∠MEN的關系．

Answer 1

【答案】（1）70°；65°；猜想：∠AEC＝∠EAB+∠ECD．（2）當點E位于區域Ⅰ時，∠EMB+∠END+∠MEN＝360°；當點E位于區域Ⅱ時，∠EMB+∠END＝∠MEN.

【解析】

（1）①過點E作EF∥AB，再由平行線的性質即可得出結論；②、③根據①的過程可得出結論；

（2）根據題意畫出圖形，再根據平行線的性質即可得出∠EMB、∠END、∠MEN的關系．

本題考查的是平行線的性質，根據題意畫出圖形，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．

解：（1）①如圖1，過點E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∵∠A＝20°，∠C＝50°，

∴∠1＝∠A＝20°，∠2＝∠C＝50°，

∴∠AEC＝∠1+∠2＝70°；

故答案為：70°；

②同理可得，∴∠AEC＝∠1+∠2＝65°；

故答案為：65°；

③猜想：∠AEC＝∠EAB+∠ECD．

理由：如圖1，過點E作EF∥CD，

∵AB∥DC

∴EF∥AB（平行于同一條直線的兩直線平行），

∴∠1＝∠EAB，∠2＝∠ECD（兩直線平行，內錯角相等），

∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠EAB+∠ECD（等量代換）．

（2）當點E位于區域Ⅰ時，∠EMB+∠END+∠MEN＝360°，

理由：過E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠BME+∠MEF＝180°，∠DNE+∠NEF＝180°，

∴∠EMB+∠END+∠MEN＝360°；

當點E位于區域Ⅱ時，∠EMB+∠END＝∠MEN，

理由：過E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠BMN＝∠FEM，∠DNE＝∠FEN，

∴∠EMB+∠END＝∠MEF+∠NEF＝∠MEN．