Question

【題目】如圖，工人師傅用一塊長為10分米，寬為6分米的矩形鐵皮制作一個無蓋的長方體容器，需要將四角各裁掉一個正方形；（厚度不計）

（1）當長方體底面面積為12平方分米時，裁掉的正方形邊長為______分米；

（2）若要求制作的長方體的底面長不大于底面寬的5倍，且將容器的外表面進行防銹處理，其側面處理費用為0.5元/平方分米，底面處理費用為2元/平方分米；求：裁掉的正方形邊長為多大時，防銹處理總費用最低，最低為多少？

Answer 1

【答案】（1）裁掉的正方形的邊長為2dm；（2）裁掉的正方形邊長為3.5分米時，總費用最低，最低費用為31元．

【解析】

(1)由設裁掉的正方形的邊長為xdm，用x的代數式表示長方體底面的長與寬，再根據矩形的面積公式列出方程，可求得答案；

(2)由條件“制作的長方體的底面長不大于底面寬的5倍“列出不等式，可求得x的取值范圍，用x可表示出總費用，利用二次函數的性質可求得其最小值，可求得答案．

(1)設裁掉的正方形的邊長為xdm，

由題意可得(10-2x)(6-2x)=12，

即x2-8x+12=0，

解得x=2或x=6(舍去)，

答：裁掉的正方形的邊長為2dm；

(2)設總費用為y元，

則y=2(10-2x)(6-2x)+0.5×[2x(10-2x)+2x(6-2x)]

=4x2-60x+192

=4(x-7.5)2-33，

又∵12-2x≤5(8-2x)，

∴x≤3.5，

∵a=4＞0，

∴當x＜7.5時，y隨x的增大而減小，

∴當x=3.5時，y取得最小值，最小值為31，

答：裁掉的正方形邊長為3.5分米時，總費用最低，最低費用為31元．