Question

已知Rt△ABC和Rt△EBC，°。以邊AC上的點O為圓心、OA為半徑的⊙O與EC相切，D為切點，AD//BC。
（1）用尺規確定并標出圓心O；（不寫做法和證明，保留作圖痕跡）
（2）求證：
（3）若AD=1，，求BC的長。（8分）

Answer 1

（1）略
（2）略
（3）2

解：
（1）（提示：O即為AD中垂線與AC的交點或過D點作EC的垂線與AC的交點等）.
能見作圖痕跡，作圖基本準確即可,漏標O可不扣分   2分
（2）證明:連結OD．∵AD∥BC ， ∠B=90°，∴∠EAD=90°．

∴∠E+∠EDA=90°，即∠E=90°－∠EDA．
又圓O與EC相切于D點，∴OD⊥EC．
∴∠EDA+∠ODA=90°，即∠ODA=90°－∠EDA．
∴∠E=∠ODA 3分
（說明：任得出一個角相等都評1分）
又OD=OA，∴∠DAC=∠ODA，∴∠DAC=∠E．   4分
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠E=∠ACB．  5分
（3）Rt△DEA中，tan∠E=，又tan∠E=tan∠DAC=，
∵AD=1∴EA=．    6分
Rt△ABC中，tan∠ACB=，
又∠DAC=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠DAC．
∴=，∴可設．
∵AD∥BC，∴Rt△EAD∽Rt△EBC．  7分
∴，即．
∴，∴. 8分