Question

（10分）
如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.

⑴請判斷四邊形EFGH的形狀？并說明為什么.
⑵若使四邊形EFGH為正方形，那么四邊形ABCD的對角線應具有怎樣的性質？

Answer 1

略

分析（1）連接四邊形的對角線，根據題目所給四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，可得四邊形對邊平行且相等，從而判斷平行四邊形；
（2）只要加對角線相等且互相垂直就可證明是正方形；
解：（1）∵E是AB的中點，H是AD的中點，
∴EH∥BD，EH="1/2" BD
∵F是BC的中點，G是CD的中點
∴GF∥BD，GF="1/2" BD

∴四邊形EFGH是平行四邊形．
（2）若加AC=BD且AC⊥BD，則四邊形EFGH會是正方形
在（1）的條件下，∵AC=BD
∴EF=FG=GH=HE
∴四邊形EFGH是菱形．
又∵AC⊥BD，EH∥BD，EF∥AC
∴∠HEF=90°
∴四邊形EFGH是正方形