Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線C1：y＝mx2﹣2mx+m+4與y軸交于點A（0，3），與x軸交于點B、C（點B在點C左側）．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求點B的坐標；

（3）若拋物線C2：y＝a（x﹣1）2﹣1（a≠0）與線段AB恰有一個公共點，結合函數的圖象，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）B（﹣1，0）；（3）a的取值范圍為≤a≤4．

【解析】

（1）直接把點A的坐標代入y＝mx2﹣2mx+m+4得m+4＝3，然后求出m的值即可得到拋物線的解析式；

（2）利用拋物線與x軸的交點問題，通過解方程x2+2x+3＝0可得到B點坐標；

（3）拋物線y＝a（x﹣1）2﹣1（a≠0）的頂點坐標為（1，﹣1），則開口向上，根據二次函數的性質，拋物線C2與線段AB的公共點為B點時，a最小；當拋物線C2與線段AB的公共點為A點時，a最大，然后把A、B兩點的坐標分別代入計算出對應的a的值，從而可確定a的取值范圍．

（1）把A（0，3）代入y＝mx2﹣2mx+m+4得m+4＝3，解得m＝﹣1，

所以拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）當y＝0時，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，

所以B（﹣1，0）；

（3）拋物線C2：y＝a（x﹣1）2﹣1（a≠0）的頂點坐標為（1，﹣1），

因為拋物線C2與線段AB恰有一個公共點，則開口向上，

當拋物線C2與線段AB的公共點為B點時，a最小，把B（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣1得4a﹣1＝0，解得a＝；

當拋物線C2與線段AB的公共點為A點時，a最大，把A（0，3）代入y＝a（x﹣1）2﹣1得a﹣1＝3，解得a＝4，

所以a的取值范圍為≤a≤4．