Question

【題目】如圖，半徑為1的小圓與半徑為2的大圓，有一個公共點與數軸上的原點重合，兩圓在數軸上做無滑動的滾動，小圓的運動速度為每秒π個單位，大圓的運動速度為每秒2π個單位，（1）若小圓不動，大圓沿數軸來回滾動，規定大圓向右滾動的時間記為正數，向左滾動時間即為負數，依次滾動的情況錄如下（單位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，+6

（1）第　 　 次滾動后，大圓與數軸的公共點到原點的距離最遠；

（2）當大圓結束運動時，大圓運動的路程共有多少？此時兩圓與數軸重合的點之間的距離是多少？（結果保留π）

（3）若兩圓同時在數軸上各自沿著某一方向連續滾動，滾動一段時間后兩圓與數軸重合的點之間相距9π，求此時兩圓與數軸重合的點所表示的數．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）總路程為：36π，兩圓與數軸重合的點之間的距離為：8π；（3）小圓與數軸重合的點所表示的數為9π，大圓與數軸重合的點所表示的數為18π，或小圓與數軸重合的點所表示的數為-9π，大圓與數軸重合的點所表示的數為-18π，或小圓與數軸重合的點所表示的數為-3π，大圓與數軸重合的點所表示的數為6π，小圓與數軸重合的點所表示的數為3π，大圓與數軸重合的點所表示的數為-6π

【解析】

（1）根據題意，分別求出每次滾動后大圓與數軸的公共點到原點的距離，即可得出結論；

（2）根據題意，計算出每次運動的路程，然后求和即可求出大圓運動的總路程，然后求出運動6次后，大圓與數軸的公共點到原點的距離即可；

（3）根據大圓和小圓的運動方向，分類討論，分別求出對應的運動時間，從而求出兩圓與數軸重合的點所表示的數．

解：（1） 第1次滾動后，大圓與數軸的公共點到原點的距離：|﹣1×2π|＝2π

第2次滾動后，大圓與數軸的公共點到原點的距離：|﹣1×2π+2×2π|＝2π

第3次滾動后，大圓與數軸的公共點到原點的距離：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π|＝6π

第4次滾動后，大圓與數軸的公共點到原點的距離：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π|＝10π

第5次滾動后，大圓與數軸的公共點到原點的距離：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π|＝4π

第6次滾動后，大圓與數軸的公共點到原點的距離：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π

∵10π＞8π＞6π＞4π＞2π＝2π

所以第4次滾動后大圓與數軸的公共點到原點的距離最遠．

故答案為4；

（2）總路程為：|﹣1×2π|+|+2×2π|+|﹣4×2π|+|﹣2×2π|+|+3×2π|+|+6×2π|＝36π

此時兩圓與數軸重合的點之間的距離為：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π

答：當大圓結束運動時，大圓運動的路程為36π；此時兩圓與數軸重合的點之間的距離為8π．

（3）當它們同向運動時，運動時間為：秒，

若同時向右運動，小圓與數軸重合的點所表示的數為9×π=9π，大圓與數軸重合的點所表示的數為9×2π=18π，

若同時向左運動，小圓與數軸重合的點所表示的數為-9×π=-9π，大圓與數軸重合的點所表示的數為-9×2π=-18π，

當它們反向運動時，運動時間為：秒，

若小圓向左、大圓向右運動時，小圓與數軸重合的點所表示的數為-3×π=-3π，大圓與數軸重合的點所表示的數為3×2π=6π，

若小圓向右、大圓向左運動時，小圓與數軸重合的點所表示的數為3×π=3π，大圓與數軸重合的點所表示的數為-3×2π=-6π

綜上所述：小圓與數軸重合的點所表示的數為9π，大圓與數軸重合的點所表示的數為18π，或小圓與數軸重合的點所表示的數為-9π，大圓與數軸重合的點所表示的數為-18π，或小圓與數軸重合的點所表示的數為-3π，大圓與數軸重合的點所表示的數為6π，小圓與數軸重合的點所表示的數為3π，大圓與數軸重合的點所表示的數為-6π．