Question

【題目】一個(gè)四位數(shù)，記千位上和百位上的數(shù)字之和為x，十位上和個(gè)位上的數(shù)字之和為y，如果x=y，那么稱這個(gè)四位數(shù)為“和平數(shù)”． 例如：1423，x=1+4，y=2+3，因?yàn)閤=y，所以1423是“和平數(shù)”．
（1）直接寫出：最小的“和平數(shù)”是 ， 最大的“和平數(shù)”是；
（2）求個(gè)位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的兩倍且百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和是12的倍數(shù)的所有“和平數(shù)”；
（3）將一個(gè)“和平數(shù)”的個(gè)位上與十位上的數(shù)字交換位置，同時(shí)，將百位上與千位上的數(shù)字交換位置，稱交換前后的這兩個(gè)“和平數(shù)”為一組“相關(guān)和平數(shù)”． 例如：1423與4132為一組“相關(guān)和平數(shù)”
求證：任意的一組“相關(guān)和平數(shù)”之和是1111的倍數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）1001；9999
（2）解：設(shè)這個(gè)“和平數(shù)”為 ，

則d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，

∴2c+a=12k，

即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），

①、當(dāng)a=2，d=4時(shí)，2（c+1）=12k，

可知c+1=6k且a+b=c+d，

∴c=5則b=7，

②、當(dāng)a=4，d=8時(shí)，

2（c+2）=12k，

可知c+2=6k且a+b=c+d，

∴c=4則b=8，

綜上所述，這個(gè)數(shù)為2754和4848

（3）解：設(shè)任意的兩個(gè)“相關(guān)和平數(shù)”為 ， （a，b，c，d分別取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），

則 + =1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），

即兩個(gè)“相關(guān)和平數(shù)”之和是1111的倍數(shù)

【解析】解：（1）由題意得，最小的“和平數(shù)”1001，最大的“和平數(shù)”9999， 故答案為：1001，9999；
（1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；（2）設(shè)這個(gè)“和平數(shù)”為 ，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），①、當(dāng)a=2，d=4時(shí)，2（c+1）=12k，得到c=5則b=7，②、當(dāng)a=4，d=8時(shí)，得到c=4則b=8，于是得到結(jié)論；（3）設(shè)任意的兩個(gè)“相關(guān)和平數(shù)”為 ， （a，b，c，d分別取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），于是得到 + =1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），即可得到結(jié)論．