Question

【題目】如圖，已知直線PT與⊙O相切于點T，直線PO與⊙O相交于A，B兩點．
（1）求證：PT2=PAPB；
（2）若PT=TB= ，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OT．

∵PT是⊙O的切線，

∴PT⊥OT，

∴∠PTO=90°，

∴∠PTA+∠OTA=90°，

∵AB是直徑，

∴∠ATB=90°，

∴∠TAB+∠B=90°，

∵OT=OA，

∴∠OAT=∠OTA，

∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，

∴△PTA∽△PBT，

∴ = ，

∴PT2=PAPB．

（2）∵TP=TB= ，

∴∠P=∠B=∠PTA，

∵∠TAB=∠P+∠PTA，

∴∠TAB=2∠B，

∵∠TAB+∠B=90°，

∴∠TAB=60°，∠B=30°，

∴tanB= = ，

∴AT=1，

∵OA=OT，∠TAO=60°，

∴△AOT是等邊三角形，

∴S陰=S扇形OAT﹣S△AOT= ﹣ 12= ﹣

【解析】（1）連接OT，只要證明△PTA∽△PBT，可得 = ，由此即可解決問題；（2）首先證明△AOT是等邊三角形，根據S陰=S扇形OAT﹣S△AOT計算即可；
【考點精析】根據題目的已知條件，利用切線的性質定理和扇形面積計算公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．