Question

（2012•鄂州）已知，如圖，△OBC中是直角三角形，OB與x軸正半軸重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=

3

，將△OBC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°再將其各邊擴(kuò)大為原來(lái)的m倍，使OB₁=OC，得到△OB₁C₁，將△OB₁C₁繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°再將其各邊擴(kuò)大為原來(lái)的m倍，使OB₂=OC₁，得到△OB₂C₂，…，如此繼續(xù)下去，得到△OB₂₀₁₂C₂₀₁₂，則m=

2

．點(diǎn)C₂₀₁₂的坐標(biāo)是

（-2²⁰¹³，0）

．

Answer 1

分析：先解直角三角形求出∠BOC=60°，再根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求出m的值，然后求出OC₁、OC₂、OC₃、…、OC_n的長(zhǎng)度，再根據(jù)周角等于360°，每6個(gè)為一個(gè)循環(huán)組，求出點(diǎn)C₂₀₁₂是第幾個(gè)循環(huán)組的第幾個(gè)點(diǎn)，再根據(jù)變化規(guī)律寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

解答：解：∵∠OBC=90°，OB=1，BC=

3

，
∴tan∠BOC=

BC

OB

=

3

，
∴∠BOC=60°，
∴OC=2OB=2×1=2，
∵將△OBC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°再將其各邊擴(kuò)大為原來(lái)的m倍，使OB₁=OC，
∴m=2，
∴OC₁=2OC=2×2=4=2²，
OC₂=2OC₁=2×4=8=2³，
OC₃=2OC₂=2×8=16=2⁴，
…，
OC_n=2ⁿ⁺¹，
∴OC₂₀₁₂=2²⁰¹³，
∵2012÷6=335…2，
∴點(diǎn)C₂₀₁₂與點(diǎn)C₂在同一射線上，在x軸負(fù)半軸，坐標(biāo)為（-2²⁰¹³，0）．
故答案為：2，（-2²⁰¹³，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)，解直角三角形，根據(jù)解直角三角形，以及30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出m的值是解題的關(guān)鍵．